8.4. Уравнение прямой линии

Определения и обозначения

Уравнение прямой — уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки прямой и только они. Например, подстановка координат точки позволяет установить, принадлежит ли она этой прямой. Так геометрическое условие можно проверять вычислением.

Общее уравнение прямой имеет вид Ax + By + C = 0, где A и B не равны нулю одновременно. Буквы A, B и C обозначают постоянные коэффициенты, а x и y — координаты точки. Такая запись позволяет описывать не только наклонные, но и вертикальные прямые.

Угловой коэффициент — число k в уравнении y = kx + b; оно задаёт наклон прямой к оси Ox. При увеличении x значение y меняется в соответствии с этим коэффициентом: знак k показывает направление наклона, а величина — его крутизну. Этот параметр помогает сравнивать прямые.

Свободный член b в уравнении y = kx + b — ордината точки пересечения прямой с осью Oy. На этой оси x = 0, поэтому при подстановке в уравнение остаётся y = b. Значит, по свободному члену можно сразу определить точку пересечения: (0; b).

Как это устроено

Чтобы понять, как уравнение задаёт прямую, достаточно вспомнить, что у каждой точки плоскости есть координаты x и y. Подставляя их в уравнение, мы проверяем, выполняется ли условие, связывающее координаты точек искомой линии. Если равенство верно, точка принадлежит прямой; если неверно — не принадлежит. Поэтому уравнение описывает всю прямую: оно выделяет именно те точки, координаты которых ему удовлетворяют.

В общем уравнении Ax + By + C = 0 хотя бы один из коэффициентов A и B отличен от нуля, поэтому координаты x и y действительно связаны условием. Если, например, B ≠ 0, можно выразить y через x, и каждому подходящему x будет соответствовать значение y. Если A = 0, получится горизонтальная прямая: By + C = 0 задаёт постоянное значение y. Если B = 0, уравнение задаёт постоянное x — вертикальную прямую. Именно поэтому общее уравнение охватывает случаи, которые не помещаются в вид y = kx + b.

Если B ≠ 0, преобразуем Ax + By + C = 0: переносим слагаемые с x и C вправо, затем делим обе части на B. Получаем y = −(A/B)x − C/B, то есть y = kx + b, где k = −A/B, а b = −C/B. Такой переход возможен только при B ≠ 0. У вертикальной прямой x = a значение x постоянно, а y может быть любым; выразить y как единственную функцию от x в форме y = kx + b для неё нельзя.

Чтобы составить уравнение прямой через заданную точку, сначала записывают общий вид Ax + By + C = 0, а затем подставляют координаты точки. Равенство должно быть верным, поэтому коэффициенты оказываются связанными дополнительным условием. Одной точки обычно недостаточно для выбора единственной прямой: через неё можно провести много прямых. Нужны дополнительные сведения, например ещё одна точка или известный наклон.

Для двух точек подставляют координаты первой и второй точки в общее уравнение отдельно. Так получают два условия на коэффициенты; вместе с тем нужно учитывать, что умножение всех коэффициентов на одно и то же ненулевое число не меняет прямую. Если точки различны, они определяют единственную прямую, и найденное уравнение можно проверить подстановкой обеих пар координат. Совпадающие точки второго независимого условия не дают, поэтому по ним нельзя однозначно определить прямую.

Виды уравнений прямой и их применение

Сначала определите, какой тип прямой нужно описать: для вертикальной используйте x = a, для остальных удобен вид y = kx + b. Если вид заранее неизвестен или требуется охватить все случаи, выбирайте общее уравнение. Для проверки точки достаточно подставить её координаты в выбранную запись.

Разбор задач

Проверить, лежит ли точка A(2; 1) на прямой 3x − 2y − 4 = 0.

1. Подставим координаты A: вместо x поставим 2, а вместо y — 1. Получим 3 · 2 − 2 · 1 − 4 = 0. Важно сохранить порядок координат: первая относится к x, вторая — к y.
2. Вычислим левую часть: 6 − 2 − 4 = 0. Равенство верно, следовательно, координаты точки удовлетворяют уравнению. Ответ: точка A лежит на прямой.

Привести уравнение 2x + 4y − 8 = 0 к виду y = kx + b и определить точку пересечения с осью Oy.

1. Нужно оставить y в левой части, поэтому перенесём 2x и −8 вправо: 4y = −2x + 8. Затем разделим обе части на 4 и получим y = −½x + 2.
2. Сравним результат с формой y = kx + b: здесь k = −½, а b = 2. На оси Oy x = 0, поэтому y = 2. Ответ: точка пересечения — (0; 2).

Составить уравнение прямой, проходящей через точки A(1; 2) и B(3; −1).

1. Запишем общее уравнение Ax + By + C = 0 и подставим координаты обеих точек. Для A получим A + 2B + C = 0, для B — 3A − B + C = 0. Нужны оба условия, потому что прямая должна проходить через каждую из точек.
2. Вычтем первое условие из второго: 2A − 3B = 0, откуда 2A = 3B. Чтобы получить целые коэффициенты, выберем A = 3 и B = 2; тогда из A + 2B + C = 0 следует C = −7.
3. Получаем уравнение 3x + 2y − 7 = 0. Проверим A: 3 · 1 + 2 · 2 − 7 = 0; проверим B: 3 · 3 + 2 · (−1) − 7 = 0. Оба равенства верны, значит, ответ: 3x + 2y − 7 = 0.

Типичные ошибки

Считать, что любую прямую можно записать как y = kx + b, — значит забывать о вертикальных прямых. В этой форме для каждого x задаётся одно y, тогда как на вертикальной прямой x фиксирован, а y меняется. Ошибку допускают, когда привычную запись принимают за единственно возможную. Проверьте себя: если прямая имеет вид x = a, записывайте её отдельно.

В общем уравнении нельзя одновременно положить A = 0 и B = 0: тогда останется только C = 0. Такое равенство либо верно для любой точки, либо неверно для всех, но единственную прямую оно не выделяет. Это условие легко упустить, сосредоточившись на вычислении коэффициентов. Перед ответом убедитесь, что хотя бы один из A и B ненулевой.

При проверке точки иногда подставляют координаты не на свои места или теряют знак слагаемого. Причина часто в том, что точку записывают парой чисел, не соотнося первое с x, а второе с y. Подставляйте координаты по очереди и сохраняйте знаки из исходного уравнения. Для самопроверки вычислите левую часть ещё раз, отдельно проверив каждое произведение.

При составлении уравнения по двум точкам недостаточно использовать только одну из них: тогда получится лишь одно условие, и выбор прямой останется неоднозначным. Также нельзя брать совпадающие точки, поскольку они не задают направление прямой. Эти ошибки возникают, когда проверка результата кажется необязательной. Подставьте координаты обеих точек в полученное уравнение и убедитесь, что обе равенства верны.

Связь с другими темами

Для работы с уравнениями прямых нужны координаты точек на плоскости, умение подставлять числа в выражения и преобразовывать линейные уравнения. Эти навыки позволяют переходить от геометрического положения точек к вычислениям с x и y. Уравнение прямой, в свою очередь, помогает изучать взаимное расположение прямых и находить их точку пересечения, решая систему уравнений. Тем же способом можно задавать прямыми границы и описывать геометрические фигуры аналитически.

Что запомнить

• Общее уравнение прямой имеет вид Ax + By + C = 0.
• Коэффициенты A и B не могут одновременно равняться нулю.
• Координаты каждой точки прямой удовлетворяют её уравнению.
• Вид y = kx + b задаёт прямую, не параллельную оси Oy.
• Вертикальная прямая имеет уравнение x = a.
• Чтобы составить уравнение по заданным точкам, подставляют координаты каждой из них.