101. Равносоставленные многоугольники

Определения и обозначения

Равносоставленные многоугольники — многоугольники, которые можно разбить на одинаковое число попарно равных частей так, чтобы части одного многоугольника соответственно совпадали с частями другого. Иными словами, можно подобрать части по парам так, чтобы при наложении каждая пара совпала. Это понятие позволяет сравнивать фигуры даже тогда, когда их внешний вид различается.

Разбиение многоугольника на части — представление его в виде объединения многоугольников без перекрытий, кроме общих границ. Части вместе должны полностью закрывать исходную фигуру: нельзя оставлять пустоты или накладывать одну часть на другую. Это определение нужно, чтобы точно описать, какие именно фигуры сравниваются.

Равновеликие многоугольники — многоугольники, имеющие равные площади. Они могут иметь разные форму и размеры отдельных сторон, если общая площадь одинакова. Это понятие используют при сравнении величины фигур, но оно само по себе не указывает, как фигуры разрезать.

Составная фигура — фигура, полученная объединением нескольких многоугольников, из которых она составлена. Её площадь находят сложением площадей частей, если они не перекрываются. Такое представление помогает проследить, почему изменение расположения частей не меняет общей площади.

Как это устроено

Представим, что два многоугольника разбиты на одинаковое число частей, и каждой части первого соответствует равная ей часть второго. Тогда части можно перемещать, не меняя их форму и размеры, пока каждая не займёт место соответствующей части. Поэтому одно и то же разбиение можно собрать в разные по очертаниям многоугольники. Именно возможность такого сопоставления, а не внешнее сходство фигур, означает равносоставленность.

Когда части переставляют, каждая из них сохраняет свою площадь: движение по плоскости не растягивает и не сжимает многоугольник. Площадь составной фигуры равна сумме площадей составляющих её частей, если между ними нет промежутков и перекрытий. После перестановки слагаемые остаются теми же, меняется только их расположение. Поэтому площадь собранной фигуры не зависит от порядка частей.

Чтобы доказать равновеликость равносоставленных многоугольников, сопоставляют их части попарно. Равные многоугольники имеют равные площади, значит, площади каждой пары частей совпадают. Складывая равные площади частей для первого и второго многоугольников, получаем равенство площадей целых фигур. В рассуждении нужно учесть все части, а не только несколько удобных для сравнения.

Сложный многоугольник часто удобно разделить на треугольники: их площади можно вычислять по известным формулам, а сам треугольник легко сравнивать с другими простыми фигурами. Например, прямоугольник можно разделить диагональю на два равных треугольника, а параллелограмм — разрезать и переставить его часть, получив прямоугольник той же площади. Так сравнение сложных фигур сводится к разбиению и работе с более простыми частями. При этом каждый разрез должен оставлять фигуру полностью покрытой частями.

Для многоугольников верно и обратное утверждение: если их площади равны, то их можно представить как равносоставленные. Один из ключей к этому результату — разбиение многоугольников на треугольники, после которого фигуры можно преобразовывать и сопоставлять по частям. Равенство площадей гарантирует, что площадь не будет потеряна или добавлена при таком разрезании и перестановке. Само построение может быть непростым, поэтому в конкретной задаче разбиение нужно предъявить или обосновать отдельно.

Сравнение равносоставленности и равновеликости многоугольников

Используйте таблицу, чтобы не смешивать способ разбиения и численную характеристику площади. При доказательстве равносоставленности показывайте сами части и их попарное равенство, а равновеликость можно подтвердить сложением площадей.

Разбор задач

Задача 1. Части уже сопоставлены

Даны два многоугольника, каждый разбит на четыре части; соответствующие части попарно равны. Нужно определить, равносоставлены ли многоугольники, и сравнить их площади. Здесь важны два условия: части должны действительно составлять каждый исходный многоугольник, а соответствие должно охватывать все четыре части. По условию эти требования выполнены.

1. У первого многоугольника четыре части, и у второго столько же. Для каждой части первого указана равная ей часть второго, поэтому имеется полное попарное соответствие.
2. По определению многоугольники с таким разбиением являются равносоставленными. Равенство каждой пары частей означает равенство их площадей.
3. Сложим площади всех четырёх частей первого многоугольника и отдельно — второго. В соответствующих суммах слагаемые попарно равны, поэтому равны и площади целых фигур.

Ответ: многоугольники равносоставлены, их площади равны.

Задача 2. Параллелограмм и прямоугольник

Нужно показать, что параллелограмм и прямоугольник с одинаковым основанием и высотой равносоставлены. Равенство площадей по формуле само по себе не показывает нужные части, поэтому найдём разрез, превращающий одну фигуру в другую. Обозначим длину основания через a, а высоту через h.

1. У параллелограмма проведём перпендикуляры к основанию через концы одной из наклонных боковых сторон. Они отделят у края треугольную часть; линия разреза проходит через боковую сторону и перпендикуляр к основанию.
2. Перенесём отделённый треугольник к противоположному краю параллелограмма. Его наклонная сторона подходит к наклонному краю оставшейся части, а внешняя граница становится прямоугольной.
3. Получившийся прямоугольник имеет основание a и высоту h, то есть совпадает по форме и размерам с данным прямоугольником. Разрезанные фигуры состоят из одних и тех же частей: оставшейся части и перенесённого треугольника.

Ответ: параллелограмм равносоставлен с прямоугольником с теми же основанием и высотой.

Задача 3. Разбиение равновеликих многоугольников

Требуется построить разбиение двух равновеликих многоугольников на попарно равные части. Одного сравнения их площадей недостаточно, чтобы сразу назвать готовые куски, поэтому нужно воспользоваться известным способом перехода от сложных фигур к простым. В общем случае задача не сводится к тому, чтобы провести одинаковые на вид разрезы в исходных фигурах.

1. Разрежем каждый многоугольник диагоналями на треугольники. Это допустимо для любого многоугольника, причём полученные треугольники без промежутков покрывают исходную фигуру.
2. Используем равенство площадей целых фигур: суммарная площадь треугольников в одном разбиении равна суммарной площади треугольников в другом. Применяя геометрические разрезания и перестановки, части приводят к сопоставимым простым фигурам или к общему составному многоугольнику.
3. Разобьём полученные части дальше, если это нужно, чтобы каждая часть одной фигуры совпадала с равной частью другой. Проверим, что части покрывают обе исходные фигуры полностью и не перекрываются внутри каждой из них.

Ответ: равновеликие многоугольники можно разрезать на попарно равные части; конкретные линии разреза зависят от заданных фигур.

Типичные ошибки

Считать фигуры равносоставленными только потому, что у них равные площади, — недостаточно для доказательства. Путают следствие с определением: из равносоставленности следует равновеликость, но в решении нужно указать разбиение или обосновать его существование. Проверка: назовите соответствующие части и покажите, почему они равны.

Если части перекрываются или между ними остаются промежутки, они не образуют разбиение исходного многоугольника. Такая ошибка возникает, когда проверяют только форму отдельных кусков, забывая о всей фигуре. Проверьте, что каждая точка исходного многоугольника принадлежит части, а внутренние области частей не накладываются друг на друга.

Равные площади частей не означают, что сами части равны как многоугольники. У разных по форме фигур площадь может совпадать, поэтому их нельзя автоматически считать парой равных частей. Для проверки сравните форму и размеры каждой пары, например наложением или по соответствующим сторонам и углам.

Нельзя сравнить лишь некоторые удобные части и по ним сделать вывод обо всём многоугольнике. Ошибку допускают, когда забывают про остаток фигуры или не находят ему пару. Пересчитайте части обеих фигур и составьте список соответствий так, чтобы ни одна часть не осталась без пары.

Связь с другими темами

Для изучения равносоставленности нужны понятия площади многоугольника, равных многоугольников, треугольника, параллелограмма и прямоугольника. Связь с предыдущими темами проявляется в разбиении фигур на треугольники и применении формул площадей. Позже разрезание и перестановка частей помогают в геометрических доказательствах равенства площадей, в том числе при доказательстве теоремы Пифагора. Такой подход показывает равенство площадей через устройство фигур, а не только через вычисления.

Что запомнить

• Равносоставленные многоугольники разбиваются на попарно равные части.
• При перестановке частей площадь составной фигуры не изменяется.
• Равносоставленные многоугольники равновелики.
• Равенство площадей само по себе не заменяет описание разбиения.
• Многоугольник можно разбивать на треугольники.
• Разбиение помогает сводить сравнение сложных фигур к сравнению простых.
• Равновеликие многоугольники могут быть равносоставлены.