"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Площадь показывает, сколько места занимает фигура на плоскости, и помогает сравнивать фигуры и находить размеры составных частей. Для параллелограмма, треугольника и трапеции площадь вычисляют по основанию и высоте, проведённой именно к этому основанию. У треугольника и трапеции в формуле появляется множитель ½. Разобравшись, как получаются эти формулы, легче не перепутать высоту с боковой стороной и правильно записать единицы ответа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Высота параллелограмма — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой прямой угол, поэтому его длина показывает расстояние между параллельными сторонами. Если параллелограмм сильно наклонён, высота может проходить за его пределами. Она нужна для вычисления площади и не обязательно совпадает с боковой стороной.
Площадь параллелограмма находят как произведение основания на высоту, проведённую к этому основанию: S = ah. Здесь a — длина выбранной стороны, а h — соответствующая ей высота. Чем больше основание или высота, тем больше площадь при неизменности второго размера. Формула помогает сравнивать параллелограммы, даже если их боковые стороны наклонены по-разному.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на проведённую к нему высоту: S = ½ah. Основанием можно считать любую сторону, но высоту нужно брать именно к ней. Буквы a и h обозначают соответственно длину основания и длину перпендикуляра к нему. Эта формула позволяет найти площадь, даже если треугольник не прямоугольный.
Площадь трапеции равна половине произведения суммы её оснований на высоту: S = ½(a + b)h. Основания трапеции — её параллельные стороны, а h — расстояние между ними. Их длины складывают, а затем умножают сумму на высоту и делят на два. Формула учитывает сразу оба основания, которые могут быть разной длины.
Формулу площади параллелограмма можно получить, сравнив его с прямоугольником. Если отрезать треугольную часть у одного края параллелограмма и перенести её к другому краю, получится прямоугольник. Перенос не меняет площадь: ни кусок не исчезает, ни новый участок не добавляется. У прямоугольника стороны равны основанию параллелограмма и его высоте, поэтому площадь равна произведению ah.
Наклон боковых сторон не меняет формулу площади, потому что важна не длина наклонной стороны, а расстояние между выбранным основанием и параллельной ему стороной. Именно это расстояние измеряет высота. При одном и том же основании параллелограммы с одинаковой высотой имеют одинаковую площадь, даже если их боковые стороны наклонены по-разному. Если умножить основание на наклонную боковую сторону, получится неверный результат: такая сторона не показывает ширину фигуры перпендикулярно основанию.
Диагональ параллелограмма соединяет две противоположные вершины и делит фигуру на два треугольника. Эти треугольники равны, поэтому их площади одинаковы и вместе составляют площадь параллелограмма. У каждого треугольника основание и соответствующая высота такие же, как у параллелограмма. Значит, площадь одного треугольника — половина площади параллелограмма, то есть S = ½ah.
Формулу трапеции удобно вывести, сложив две одинаковые трапеции. Вторую трапецию поворачивают и приставляют к первой так, чтобы из них получился параллелограмм с основанием a + b и высотой h. Его площадь равна (a + b)h по формуле параллелограмма. Поскольку параллелограмм составлен из двух одинаковых трапеций, площадь одной трапеции составляет половину его площади: S = ½(a + b)h.
В каждой формуле основание и высота должны относиться к одной и той же фигуре и быть выбраны согласованно. Высота всегда перпендикулярна основанию, а в трапеции она измеряет расстояние между её параллельными основаниями. Перед подстановкой полезно подписать, какая величина обозначает основание, а какая — высоту. При умножении длин в сантиметрах получается квадратный сантиметр, потому что см · см = см².
| Фигура | Основание | Высота | Формула площади |
|---|---|---|---|
| Параллелограмм | a | h, проведённая к основанию a | S = ah |
| Треугольник | a | h, проведённая к основанию a | S = ½ah |
| Трапеция | основания a и b | h, расстояние между основаниями | S = ½(a + b)h |
Сначала определите фигуру и выберите подходящую строку таблицы. Проверьте, что высота относится к выбранному основанию, а для трапеции подставлены оба основания. После вычисления запишите площадь в квадратных единицах.
Основание параллелограмма равно 8 см, а высота к нему — 5 см. Требуется найти площадь. Обе величины известны и относятся друг к другу: дана именно высота к основанию 8 см. Поэтому применяем формулу параллелограмма без дополнительных действий.
Ответ: 40 см².
Основание треугольника равно 12 см, а высота, проведённая к нему, — 7 см. Нужно найти площадь. Здесь нельзя просто перемножить две длины: площадь треугольника составляет половину произведения основания на высоту. Сначала подставим значения в формулу, а затем разделим полученное произведение на два.
Ответ: 42 см².
Основания трапеции равны 9 см и 15 см, площадь равна 96 см². Требуется найти высоту. Неизвестная величина стоит в формуле площади множителем, поэтому сначала выразим её через известные данные. Для этого умножим обе части формулы на 2, а затем разделим на сумму оснований.
Ответ: 8 см.
Нельзя умножать основание параллелограмма на наклонную боковую сторону вместо высоты. Так ошибаются, потому что боковая сторона тоже выглядит как подходящий второй размер, но она не всегда перпендикулярна основанию. В формулу нужно подставлять именно расстояние между параллельными сторонами. Для проверки убедитесь, что у основания и высоты отмечен прямой угол.
В формуле треугольника часто забывают множитель ½ и получают произведение ah. Так происходит, если запомнить только формулу параллелограмма и перенести её на треугольник без учёта того, что он занимает половину параллелограмма. После вычисления произведения основания на высоту нужно разделить его на два. Проверить себя можно, восстановив формулу: у треугольника перед ah обязательно стоит ½.
При вычислении площади трапеции иногда складывают основания и умножают их сумму на высоту, но не делят результат на два. Вероятная причина — в формуле видно три величины, и легко пропустить множитель ½. Перед вычислениями запишите S = ½(a + b)h целиком и выполняйте действия по порядку. Если основания одинаковы, формула должна дать площадь параллелограмма с таким основанием, а не вдвое большую площадь.
Ответ площади нельзя записывать просто в сантиметрах: сантиметр — единица длины, а не площади. Ошибка появляется, когда при вычислении не замечают, что перемножаются две длины. Если все размеры даны в сантиметрах, единицу возводят в квадрат и получают см². Проверьте ответ по размерности: площадь всегда выражается квадратными единицами.
Для работы с формулами нужно знать, что такое перпендикуляр и высота: именно они помогают определить расстояние между сторонами фигуры. Также пригодятся формула площади прямоугольника и умение умножать, делить и выполнять действия с дробями. Например, множитель ½ означает, что произведение нужно разделить на два. Если уверенно находить прямой угол и считать дроби, вычисления площадей становятся понятнее.
Формулы можно применять не только к отдельным фигурам, но и к составным: такую фигуру разбивают на знакомые части, находят площади этих частей и складывают или вычитают результаты. Навык понадобится и при изучении подобных треугольников, когда сравнивают размеры и площади фигур. Кроме вычислений, свойства площадей помогают обосновывать геометрические доказательства. Поэтому важно не только подставлять числа, но и понимать, почему формулы работают.
Можно ли взять за основание любую сторону параллелограмма?
Да, любую сторону можно выбрать основанием. Но тогда нужно использовать высоту, перпендикулярную именно этой стороне, а не высоту к другой стороне.
Почему в формуле площади параллелограмма нужна высота, а не боковая сторона?
Высота показывает расстояние между основанием и противоположной ему стороной, то есть ширину фигуры относительно выбранного основания. Боковая сторона может быть наклонной и не показывает это расстояние. Она подходит вместо высоты только тогда, когда перпендикулярна основанию.
Почему площадь треугольника вдвое меньше произведения основания на высоту?
Два одинаковых треугольника можно сложить в параллелограмм с теми же основанием и высотой. Площадь такого параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому площадь одного треугольника составляет половину этого произведения.
Как найти высоту трапеции, если известны её площадь и основания?
Сложите основания и разделите площадь на половину их суммы: h = 2S / (a + b). Например, при основаниях 9 см и 15 см и площади 96 см² высота равна 96 · 2 / 24 = 8 см.
В каких единицах записывать ответ при вычислении площади?
Площадь записывают в квадратных единицах: например, в см², м² или мм². Если длины даны в сантиметрах, результат будет в квадратных сантиметрах.
§ 2. Площади параллелограмма, треугольника и трапеции
