5.4. Площадь треугольника

Определения и обозначения

Площадь треугольника — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает треугольник; её обозначают буквой S. Площадь нужна, чтобы сравнивать размеры фигур и решать геометрические задачи. Её измеряют квадратными единицами, например см² или м². Для вычисления площади треугольника используют его стороны и высоты.

Основание треугольника — сторона, которую выбрали для рассмотрения фигуры. Выбор не меняет сам треугольник, но определяет, к какой стороне нужно проводить высоту. Поэтому основанием может стать любая из трёх сторон. Это удобно, если в задаче известна не привычная нижняя сторона, а другая.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону; её обозначают h. Перпендикуляр образует с этой прямой угол 90°. Высота нужна, чтобы измерить расстояние от вершины до выбранного основания. Она не обязательно совпадает с наклонной стороной треугольника.

Площадь треугольника через основание и высоту равна половине произведения выбранного основания на проведённую к нему высоту: S = ah/2. Здесь a — длина основания, а h — длина высоты именно к нему. Эта формула позволяет вычислить площадь, если известны обе длины. Если известны площадь и основание или высота, формулу можно преобразовать и найти неизвестную длину.

Как это устроено

Для вычисления площади достаточно знать одну сторону и соответствующую ей высоту, потому что вместе они задают прямоугольную меру фигуры: длину основания и расстояние до противоположной вершины. Остальные стороны для этой формулы не требуются. Можно взять любую сторону, но высоту нужно провести именно к ней. Тогда пара чисел описывает один и тот же треугольник и приводит к его площади.

Представьте второй треугольник, равный первому, и приложите его к первому так, чтобы вместе они образовали параллелограмм. У получившейся фигуры основание будет таким же, как у треугольника, а расстояние между параллельными сторонами — той же высотой. Параллелограмм состоит из двух равных по площади треугольников. Значит, один треугольник занимает ровно половину его площади.

Площадь параллелограмма вычисляют умножением основания на высоту, поэтому для одного из двух равных треугольников это произведение нужно разделить на два: S = ah/2. Основание и высота здесь не выбираются независимо друг от друга. Если взять основание a, нужно использовать высоту, проведённую к a; высота к другой стороне относится уже к другой паре. Это правило сохраняет верность формулы при любом выборе основания.

Положение высоты зависит от вида треугольника. В остроугольном треугольнике высоты проходят внутри фигуры, а в прямоугольном две высоты совпадают с его катетами. В тупоугольном треугольнике высота к одной из сторон может попасть на продолжение этой стороны. Её всё равно измеряют как перпендикулярное расстояние до прямой основания.

Перед вычислением удобно выбрать ту пару «основание — высота», для которой обе величины известны или легко находятся. Запишите их рядом и проверьте, что они соответствуют друг другу. После умножения длин получается квадратная единица: например, сантиметры на сантиметры дают квадратные сантиметры. Если нужно найти неизвестную высоту, преобразуйте формулу и убедитесь, что в ответе получилась единица длины.

Площадь треугольника: элементы и вычисления

Сначала найдите в таблице строку, которая подходит к известным данным. Если ищете площадь, проверьте, что известны основание и высота к нему; если неизвестна длина, воспользуйтесь преобразованной формулой. Перед ответом сверьте единицы измерения.

Разбор задач

Основание треугольника равно 10 см, а проведённая к нему высота — 6 см. Найдите площадь. Здесь сразу известны обе величины, нужные для формулы, и высота относится именно к указанному основанию. Поэтому достаточно подставить данные и вычислить половину произведения.

1. Запишем формулу площади: S = ah/2. Она применяется, потому что известны длина основания и соответствующая ей высота.
2. Подставим числа: S = 10 · 6/2. Сначала произведение равно 60 см², затем делим его пополам.
3. Получаем S = 30 см². Квадратные сантиметры указывают, что найденная величина является площадью.

Ответ: 30 см².

Площадь треугольника равна 42 см², основание — 12 см. Найдите высоту, проведённую к этому основанию. Неизвестна высота, поэтому формулу площади нужно выразить относительно h. Удвоение площади убирает деление на два, а затем результат делят на основание.

1. Начнём с формулы S = ah/2 и выразим высоту: h = 2S/a. Так мы сохраняем связь с тем основанием, которое дано в условии.
2. Подставим значения: h = 2 · 42/12 = 84/12. Деление даёт 7.
3. Проверим единицы: площадь задана в см², основание — в см, поэтому при делении получается длина в сантиметрах.

Ответ: 7 см.

В треугольнике ABC сторона AB равна 9 см, высота из вершины C к прямой AB равна 4 см. Найдите площадь, а затем высоту к стороне AC, если AC = 6 см. Сначала используем данные, относящиеся к AB, и находим площадь. Затем эта же площадь позволит вычислить высоту к другой стороне — AC.

1. Для первого вычисления основание AB равно 9 см, а высота к нему — 4 см. Поэтому S = 9 · 4/2 = 18 см².
2. Теперь выберем основание AC длиной 6 см. Обозначим высоту к нему через h и запишем 18 = 6h/2.
3. Выразим неизвестное: h = 2 · 18/6 = 6 см. Получили длину, а не площадь, поэтому единица ответа — сантиметр.

Ответ: площадь равна 18 см², высота к стороне AC — 6 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставить высоту, проведённую к другой стороне. Её допускают, когда воспринимают все высоты как взаимозаменяемые, хотя каждая связана со своим основанием. Проверка проста: подпишите выбранную сторону и убедитесь, что высота опущена именно к ней или к её продолжению.

Вторая ошибка — забыть разделить произведение на два и получить площадь параллелограмма вместо площади треугольника. Так случается, если помнят умножение основания на высоту, но упускают, что треугольник составляет половину соответствующего параллелограмма. Перед ответом проверьте, есть ли в записи множитель 1/2. Если площадь равна ah, сравните рассуждение с построением из двух равных треугольников.

Третья ошибка — принять наклонную боковую сторону за высоту. Это возможно, если сторона кажется похожей на перпендикуляр, но высота обязана образовывать прямой угол с прямой основания. Начертите или представьте этот угол и проверьте его по условию либо по чертежу. Если прямого угла нет, такая сторона высотой не является.

Четвёртая ошибка — записать результат в сантиметрах, хотя вычислялась площадь. При умножении двух длин, например сантиметров на сантиметры, получают квадратные сантиметры. Сверьте единицы в ответе с вопросом задачи: площадь указывают в см² или м², а высоту — в см или м. Такая проверка помогает заметить, что величина названа неверно.

Связь с другими темами

Для этой темы полезно знать формулы площади прямоугольника и параллелограмма: формула треугольника выводится из формулы площади параллелограмма. Также понадобятся понятия перпендикуляра и высоты, поскольку именно они определяют расстояние от вершины до основания. Позже площадь треугольника используют при вычислении площадей составных фигур: фигуру разбивают на части и складывают их площади. Та же формула встречается в задачах на подобие треугольников, где сравнивают площади и соответствующие стороны.

Что запомнить

• Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту.
• Формула: S = ah/2.
• Основанием можно выбрать любую сторону треугольника.
• Высота проводится перпендикулярно прямой, содержащей выбранное основание.
• Высота может лежать вне треугольника.
• Площадь измеряют в квадратных единицах.