"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Площадь трапеции показывает, сколько места занимает фигура на плоскости, и помогает сравнивать её с другими многоугольниками. Чтобы вычислить её, нужно знать длины двух параллельных сторон — оснований — и высоту, то есть расстояние между основаниями. Площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту; ту же формулу можно записать через среднюю линию. Разберём, почему формула работает и как применять её в задачах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь трапеции — величина, показывающая, сколько единичных квадратов содержится внутри трапеции; её обозначают S. Единичным называют квадрат со стороной, равной выбранной единице длины. Зная площадь, можно сравнивать размеры фигур и решать задачи о покрытии поверхности.
Основания трапеции — её параллельные стороны, длины которых обычно обозначают a и b. Они могут быть разными по длине, поэтому при вычислении площади учитывают оба основания. По ним находят их среднее значение, которое участвует в формуле площади.
Высота трапеции — расстояние между прямыми, содержащими её основания; её обозначают h. Расстояние между параллельными прямыми измеряется по перпендикуляру, поэтому высота образует с основаниями прямой угол. Она задаёт расстояние между основаниями и нужна для расчёта площади.
Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины её боковых сторон; длину обозначают m. Она параллельна основаниям и равна их полусумме. Эта величина позволяет записать формулу площади короче — как произведение средней линии на высоту.
Чтобы понять формулу площади, трапецию можно дополнить до параллелограмма или разделить на треугольники. При разбиении площади частей складываются, а площадь каждого треугольника вычисляется по известной формуле. При дополнении удобно сопоставить полученную фигуру с трапецией, чтобы увидеть роль обоих оснований и общей высоты.
Формула S = (a + b)h / 2 означает, что площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту. Деление суммы оснований на два появляется потому, что основания в среднем дают ширину фигуры: одно основание может быть длиннее другого. Если умножить эту среднюю ширину на расстояние между основаниями, получим площадь трапеции.
Средняя линия равна полусумме оснований: m = (a + b) / 2. Поэтому выражение в скобках, делённое на два, в формуле площади можно заменить на m. Получается S = mh: эта запись особенно удобна, когда средняя линия уже дана в условии, и не нужно отдельно находить основания.
Высоту выбирают не по наклонной боковой стороне, а по перпендикулярному расстоянию между основаниями. В прямоугольной трапеции боковая сторона может быть перпендикулярна основаниям и тогда совпадает с высотой. В остальных случаях высоту проводят отдельно; её длину иногда приходится находить из дополнительных данных задачи.
Из формулы площади можно выразить неизвестную величину обычными преобразованиями равенства. Если известны площадь и основания, сначала умножают обе части формулы на 2, а затем делят на сумму оснований: h = 2S / (a + b). Если известны площадь и высота, делят равенство на h и получают a + b = 2S / h.
В таблице собраны формулы для разных условий задачи. Сначала найдите строку, соответствующую известным величинам, и проверьте, что подставляете именно длины оснований и перпендикулярную высоту. Если требуется неизвестная величина, используйте формулу из нужной строки и следите за единицами измерения.
| Что известно или требуется найти | Формула | Пояснение |
|---|---|---|
| Площадь по двум основаниям и высоте | S = (a + b)h / 2 | Полусумму оснований умножают на высоту. |
| Площадь через среднюю линию и высоту | S = mh | Средняя линия m равна (a + b) / 2. |
| Высота по площади и основаниям | h = 2S / (a + b) | Площадь удваивают и делят на сумму оснований. |
| Сумма оснований по площади и высоте | a + b = 2S / h | Площадь удваивают и делят на высоту. |
Основания трапеции равны 6 см и 10 см, высота — 4 см. Найдите площадь. Здесь известны все величины, необходимые для формулы S = (a + b)h / 2. Сначала сложим основания, затем умножим их полусумму на высоту.
Ответ: 32 см². Площадь записана в квадратных сантиметрах, потому что перемножались две длины в сантиметрах. Полученное значение соответствует трапеции с такой высотой и такими основаниями.
Средняя линия трапеции равна 7 см, высота — 5 см. Найдите площадь. Так как дана средняя линия, можно не восстанавливать длины оснований. Используем равносильную формулу S = mh, где m — средняя линия.
Ответ: 35 см². Формула через среднюю линию даёт тот же результат, что и формула с основаниями, потому что средняя линия равна их полусумме. Проверяем, что обе величины в произведении выражены в сантиметрах.
Площадь трапеции равна 66 см², основания — 8 см и 14 см. Найдите высоту. Неизвестной величиной является h, поэтому преобразуем формулу S = (a + b)h / 2. Важно сначала найти сумму оснований, а не подставлять вместо неё одно из оснований.
Ответ: 6 см. Проверим результат обратной подстановкой: (8 + 14) · 6 / 2 = 66 см². Значит, найденная высота действительно даёт указанную в условии площадь.
Подстановка боковой стороны вместо высоты приводит к неверной площади, если боковая сторона наклонена. Так ошибаются, когда принимают любую сторону трапеции за расстояние между основаниями. Проверьте угол: нужный отрезок должен быть перпендикулярен обоим основаниям, а его длина — соответствовать расстоянию между ними.
Если забыть разделить сумму оснований на 2, результат окажется вдвое больше правильного. Часто это происходит из-за запоминания неполной формулы S = (a + b)h. Перед вычислением проверьте, что используется полусумма оснований, или подставьте выражение S = mh, где m уже равна этой полусумме.
Средняя линия не равна одному из оснований: она равна их полусумме. Ошибка возникает, когда в формуле S = mh вместо m берут длину большего или меньшего основания. Чтобы проверить себя, вычислите (a + b) / 2 и сравните с указанной средней линией.
Запись ответа в сантиметрах вместо квадратных сантиметров смешивает площадь и длину. Это случается, если забыть, что в формуле перемножаются две величины длины. Проверьте размерность: при основаниях и высоте в сантиметрах ответ должен быть в см², а при измерении в метрах — в м².
Для работы с площадью трапеции нужно знать формулы площадей прямоугольника, параллелограмма и треугольника. Они помогают понять вывод формулы через дополнение фигуры или её разбиение на части. Также понадобятся понятия основания и высоты, включая перпендикулярное расстояние между параллельными прямыми.
Формула трапеции применяется в задачах на площади многоугольников. Сложную фигуру можно разделить на более простые части, найти их площади и сложить результаты. Умение определять основания и высоту помогает выбрать подходящий способ вычисления.
Почему в формуле площади трапеции основания складывают и делят на два?
Среднее арифметическое оснований, (a + b) / 2, показывает их среднюю длину. Трапецию можно разрезать и переставить части так, чтобы получить параллелограмм с такой средней линией и той же высотой. Поэтому площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
Можно ли найти площадь трапеции, если известны только основания?
Нет, одних оснований недостаточно: трапеции с одинаковыми основаниями могут иметь разную высоту. Для вычисления площади нужно знать высоту или среднюю линию и высоту.
Всегда ли боковая сторона трапеции является её высотой?
Нет. Высота перпендикулярна основаниям, а боковая сторона обычно наклонена к ним. Она совпадает с высотой только тогда, когда сама перпендикулярна основаниям.
Как найти площадь трапеции через её среднюю линию?
Умножьте длину средней линии на высоту: S = mh. Средняя линия равна полусумме оснований, поэтому эта запись равносильна формуле S = (a + b)h / 2.
Как выразить высоту трапеции, если известны площадь и основания?
Сначала площадь из формулы S = (a + b)h / 2 умножают на 2, затем делят на сумму оснований. Получается h = 2S / (a + b).
5.5. Площадь трапеции
