"Геометрия", Берсенев А. В., Сафонова Н. В.
Метод площадей помогает доказывать геометрические утверждения, сравнивая площади треугольников и частей фигур. Для этого используют формулу S = ½ · a · h и выбирают основание так, чтобы у фигур совпадали высоты или основания. Тогда отношение площадей можно заменить отношением отрезков. Такой способ помогает находить отношения сторон, доказывать равенство площадей и решать задачи о подобных треугольниках.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Метод площадей — способ доказывать геометрические утверждения, сравнивая площади фигур. Вместо того чтобы напрямую искать длины всех отрезков, мы связываем площади с основаниями и высотами. Метод особенно удобен, когда несколько треугольников имеют общую высоту или равные основания. По полученному равенству площадей можно сделать вывод о соотношении отрезков.
Площадь треугольника — величина, показывающая, сколько места занимает треугольник на плоскости; её находят по формуле S = ½ · a · h. Здесь a — основание, а h — высота, проведённая к этому основанию. Основанием можно выбрать любую из трёх сторон, но высоту каждый раз нужно брать именно к выбранной стороне. Это позволяет подобрать удобное выражение для площади.
Равновеликие треугольники — треугольники, площади которых равны. Они могут иметь разные углы, стороны и форму: равенство площадей не означает равенства самих треугольников. Например, при одинаковой высоте основания равной длины дают равные площади. Это понятие нужно, чтобы формулировать вывод доказательства без требования совпадения фигур.
Отношение площадей — частное от деления одной площади на другую, например S₁/S₂. Его часто можно найти через отношение оснований, если высоты одинаковы, или через отношение высот, если основания равны. Такой переход позволяет заменить сравнение больших фигур сравнением знакомых отрезков. Важно сначала установить, какое условие позволяет сократить общий множитель в формулах площадей.
Если два треугольника имеют общую высоту h, их площади равны ½ · a₁ · h и ½ · a₂ · h. При делении первой площади на вторую одинаковые множители ½ и h сокращаются, поэтому S₁/S₂ = a₁/a₂. Значит, при общей высоте большая площадь соответствует большему основанию. Например, если основания относятся как 2:3, то так же относятся и площади треугольников.
Если основания равны, формула площади содержит у обоих треугольников одинаковый множитель ½ · a. Поэтому отношение площадей определяется только высотами: S₁/S₂ = h₁/h₂. Причина в том, что при одинаковой ширине треугольник становится больше или меньше вместе со своей высотой. Перед таким сравнением надо убедиться, что высоты проведены к равным основаниям, а не просто выглядят одинаковыми на рисунке.
Основание и соответствующую высоту выбирают не по внешнему виду треугольников, а по данным задачи. Если несколько вершин лежат на прямой, удобно взять отрезки этой прямой за основания: высоты к ней могут оказаться общими. Если же основания равны, полезно сравнить высоты к ним. Один и тот же треугольник можно рассматривать с разными основаниями, поэтому выбор иногда меняет сложные вычисления на простое отношение.
Доказательство методом площадей начинают с того, что отмечают площади нужных треугольников и записывают формулу S = ½ · a · h для каждого. Затем ищут общую высоту, равные основания или другое известное соотношение, которое связывает эти формулы. После сокращения одинаковых множителей получают равенство или отношение площадей, а из него — требуемое утверждение. В конце полезно назвать, какое именно свойство позволило перейти от площадей к отрезкам.
Иногда сравниваемые фигуры нельзя удобно выразить через одну общую высоту или основание. Тогда их разбивают на треугольники и другие части, площади которых можно сопоставить. Площадь всей фигуры равна сумме площадей частей, если они не перекрываются и вместе составляют фигуру. Если две фигуры содержат общую часть, её можно учесть с обеих сторон равенства и сократить, чтобы сравнить оставшиеся части.
В таблице указано, какое условие позволяет связать площади с основаниями или высотами. Сначала найди среди данных задачи подходящую строку, а затем подставь известные длины в соответствующее отношение. Строки «общая высота» и «общее основание» часто описывают один и тот же случай: общая сторона является основанием, а высоты к ней могут различаться.
| Условие | Связь площадей | Что можно заключить |
|---|---|---|
| Общая высота | S₁/S₂ = a₁/a₂ | Площади относятся как основания |
| Равные основания | S₁/S₂ = h₁/h₂ | Площади относятся как высоты |
| Общее основание | S₁/S₂ = h₁/h₂ | Сравнивают высоты к общей стороне |
| Равные площади | S₁ = S₂ | При общей высоте равны основания, при равных основаниях равны высоты |
В первой задаче точка D — середина BC, поэтому BD = DC. Надо выяснить, позволяют ли эти равные отрезки сравнить треугольники ABD и ACD. Их удобно взять за основания, поскольку оба лежат на одной прямой BC, а вершина A у них общая. Высоты из A к прямой BC в таком случае совпадают.
Запишем, что BD = DC: точка D является серединой BC по условию.
Обозначим через h расстояние от A до прямой BC. Это высота обоих треугольников к основаниям BD и DC.
Вычислим площади: S_ABD = ½ · BD · h, а S_ACD = ½ · DC · h. Поскольку основания равны и высота общая, выражения равны.
Ответ: S_ABD = S_ACD, поэтому треугольники ABD и ACD равновелики.
Во второй задаче основания треугольников ACD и BCD — отрезки AD и DB, лежащие на одной прямой AB. Высота из C к прямой AB у них общая, значит, отношение площадей равно отношению этих оснований. Условие уже задаёт отношение AD:DB, поэтому дополнительных вычислений высоты не требуется.
Запишем формулы: S_ACD = ½ · AD · h, S_BCD = ½ · DB · h, где h — общая высота из C к AB.
Разделим площади. Множители ½ и h сократятся, поэтому S_ACD/S_BCD = AD/DB.
Подставим AD:DB = 2:3. Следовательно, отношение площадей треугольников ACD и BCD равно 2:3.
Ответ: S_ACD:S_BCD = 2:3.
В третьей задаче параллельность DE и AB даёт подобие треугольников CDE и CBA. Соответствующие стороны относятся одинаково, а отношение площадей подобных треугольников равно квадрату этого отношения. Это следует и из формулы площади: и соответствующее основание, и высота уменьшаются в одинаковое число раз. Поэтому достаточно связать коэффициент подобия с отношением CD и CB.
Так как DE ∥ AB, углы при вершинах C общие, а соответствующие углы при D и B равны. Значит, треугольники CDE и CBA подобны.
Сторона CD соответствует CB, поэтому коэффициент подобия малого треугольника к большому равен CD/CB.
Для подобных треугольников отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия. Получаем S_CDE/S_CAB = (CD/CB)².
Ответ: S_CDE/S_CAB = (CD/CB)².
Общая сторона не означает равные площади. Так думают, потому что общую сторону легко принять за всё основание сравнения. Но площади могут различаться из-за разных высот к этой стороне. Проверь значения высот: равенство площадей следует из общего основания только тогда, когда высоты равны.
Сравнивать основания без проверки высот нельзя. Основания могут относиться как 2:3, но при разных высотах такое же отношение площадей не обязательно получится. Ошибка возникает, когда ученик замечает знакомое отношение отрезков и сразу переносит его на площади. Запиши формулу площади для каждого треугольника и проверь, что высоты одинаковы.
Не теряй множитель ½ в формуле площади. При сравнении двух треугольников он обычно сокращается, но в вычислении каждой площади его нужно учитывать. Если забыть его только в одной формуле, результат окажется неверным. Для проверки сначала запиши обе формулы целиком, а сокращай общие множители уже после деления.
Не путай отношение площадей с отношением сторон. У подобных треугольников стороны относятся с коэффициентом k, а площади — с коэффициентом k², потому что меняются и основания, и высоты. Путаница появляется, когда свойство сторон автоматически переносят на площади. Проверь, сравниваешь ли ты длины или площади, и возведи коэффициент подобия в квадрат для площадей.
Для метода площадей нужна формула площади треугольника и умение находить высоту к выбранному основанию. Также пригодятся свойства параллельных прямых: они помогают распознавать равные углы и доказывать подобие. Отношения отрезков позволяют переводить найденное отношение площадей в ответ задачи. Поэтому метод связывает вычисления площадей с теоремами о треугольниках и подобием фигур.
Его применяют, когда нужно доказать равенство площадей или найти отношение отрезков без вычисления их точных длин. В задачах о подобных треугольниках площадь помогает использовать квадрат коэффициента подобия. А при разбиении фигуры на части используются знакомые правила сложения площадей. Эти приёмы полезны как в доказательствах, так и в задачах на отношения.
Почему треугольники с общей высотой имеют отношение площадей, равное отношению оснований?
Площадь каждого такого треугольника равна половине произведения его основания на одну и ту же высоту. При делении площадей общий множитель ½ · h сокращается, и остаётся отношение оснований.
Можно ли сравнивать площади, если у треугольников нет общей стороны?
Да. Для сравнения не обязательно иметь общую сторону: достаточно найти равные основания или равные высоты либо выразить площади через известные величины. Иногда удобно разбить фигуры на части и сравнить их площади.
Как выбрать основание, чтобы удобнее применить метод площадей?
Выбирай ту сторону, к которой высоты у сравниваемых треугольников совпадают или легко находятся. Если треугольники расположены по одну сторону от общей прямой, эта прямая часто служит удобным основанием.
Почему отношение площадей подобных треугольников возводят в квадрат?
При подобии все соответствующие стороны относятся одинаково, а высоты относятся в той же пропорции. Площадь зависит и от основания, и от высоты, поэтому коэффициент подобия учитывается дважды: отношение площадей равно его квадрату.
Как использовать равенство площадей для доказательства равенства отрезков?
Нужно представить отрезки как основания треугольников с общей высотой. Если площади этих треугольников равны, то равны и основания. Перед выводом проверь, что высоты действительно совпадают.
5.6. Метод площадей
