"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Площадь произвольного многоугольника находят не по одной общей формуле, а с помощью разбиения на знакомые фигуры. Многоугольник делят диагоналями или другими отрезками на треугольники, прямоугольники и другие части, площади которых уже умеют вычислять. Затем площади неперекрывающихся частей складывают. Главное — правильно выбрать разбиение, для каждого треугольника взять соответствующие основание и высоту и не пропустить ни одного участка исходной фигуры.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь многоугольника — величина, которая показывает, какую часть плоскости занимает фигура, ограниченная её сторонами. Площадь измеряют квадратными единицами: мм², см², м². Равные фигуры имеют равные площади, а площадь фигуры из неперекрывающихся частей равна сумме площадей этих частей.
Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его соседних сторон: S = ab. Здесь S — площадь, а и b — стороны прямоугольника. Эта формула нужна, когда при разбиении многоугольника удаётся выделить прямоугольник или квадрат.
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию: S = ½ah. Основание можно выбрать любой стороной, но высота должна быть перпендикулярна именно ей. Формула позволяет вычислять площади треугольных частей многоугольника.
Площадь произвольного многоугольника — это его площадь, найденная через разбиение на фигуры с известными формулами. Обычно используют треугольники и прямоугольники. Такой подход заменяет одну неизвестную формулу несколькими уже знакомыми вычислениями.
Площадь частей можно складывать потому, что при правильном разбиении они не накладываются друг на друга. Одни и те же точки не считаются дважды, а все части вместе занимают ровно ту область, которую занимал исходный многоугольник. Поэтому сумма площадей частей даёт площадь всей фигуры.
Выпуклый многоугольник удобно разделять диагоналями, то есть отрезками, соединяющими его вершины. Например, из одной вершины пятиугольника можно провести диагонали к двум несоседним вершинам и получить три треугольника. Диагонали лежат внутри выпуклого многоугольника, поэтому не выходят за его границу и не создают лишних областей.
Для каждого получившегося треугольника сначала выбирают удобное основание. Затем находят высоту — перпендикуляр от противоположной вершины к прямой основания, — и используют формулу S = ½ah. После этого площади всех треугольников складывают, сохраняя квадратные единицы измерения.
Разбиение можно выбирать по удобству, потому что оно лишь по-разному описывает одну и ту же область. Если границы частей не пересекаются с образованием наложений и полностью покрывают исходную фигуру, сумма площадей в любом случае будет равна её площади. Значит, при выборе способа стоит ориентироваться на известные длины и простоту вычислений.
Необязательно делить многоугольник только на треугольники. Иногда внутри него сразу виден прямоугольник, а оставшиеся участки имеют форму треугольников или тоже являются прямоугольниками. Тогда для каждой части применяют свою формулу и складывают результаты, проверив, что все части вместе дают исходную фигуру.
| Фигура | Формула площади | Какие данные нужны |
|---|---|---|
| Прямоугольник | S = ab | Длины двух соседних сторон a и b |
| Треугольник | S = ½ah | Основание a и соответствующая ему высота h |
| Многоугольник, разбитый на несколько фигур | S = S₁ + S₂ + … + Sₙ | Площади всех неперекрывающихся частей |
Сначала определите, на какие знакомые фигуры разбит многоугольник. Затем выберите в таблице формулу для каждой части и подставьте величины в одинаковых единицах.
В последней строке приведена не отдельная формула новой фигуры, а правило сложения площадей. Оно работает только тогда, когда части не перекрываются и полностью покрывают исходный многоугольник.
Выпуклый четырёхугольник разделён диагональю на два треугольника. У первого треугольника основание 8 см и высота 5 см, у второго основание 8 см и высота 3 см. Найдём площадь четырёхугольника.
Ответ: 32 см².
Пятиугольник разбит диагоналями из одной вершины на три треугольника. Их основания и соответствующие высоты равны соответственно 6 см и 4 см, 5 см и 8 см, 7 см и 3 см. Требуется найти площадь пятиугольника.
Ответ: 42,5 см².
Фигура сложной формы состоит из прямоугольника со сторонами 10 см и 6 см и двух треугольников. Основания треугольников равны 4 см и 6 см, а соответствующие высоты — 3 см и 2 см. Найдём площадь всей фигуры, считая, что части не перекрываются.
Ответ: 72 см².
Складывают длины сторон вместо площадей частей. Такая ошибка появляется, когда пытаются получить ответ, просто обходя фигуру по границе. Сначала вычислите площадь каждой части, а затем проверьте, что единицы ответа квадратные.
Берут несоответствующую высоту треугольника. Иногда к выбранному основанию относят высоту, проведённую к другой стороне. Проведите мысленно или на чертеже перпендикуляр именно к выбранному основанию.
Забывают множитель ½ или используют его для прямоугольника. Формула ½ah относится только к треугольнику, потому что треугольник составляет половину подходящего параллелограмма. Для прямоугольника используйте S = ab и сравните выбранную формулу с названием фигуры.
Пропускают часть фигуры или считают её дважды. Это происходит при невнимательном проведении диагоналей и подсчёте областей. Перед сложением обведите границы всех частей и убедитесь, что они покрывают весь многоугольник без наложений.
До этой темы нужно знать формулу площади прямоугольника и формулу площади треугольника, а также уметь находить высоту треугольника. Без этого разбиение многоугольника не приведёт к вычислениям, потому что площади отдельных частей останутся неизвестными. Полезно также уверенно работать с единицами длины и площади.
Разбиение помогает находить площади фигур сложной формы, которые нельзя сразу подставить в одну знакомую формулу. Этот приём встречается в задачах на площади, при изучении многоугольников и в практических расчётах размеров участков или деталей. Выбор удачного разбиения часто сокращает количество вычислений.
Почему площади частей можно складывать?
Части разбиения не перекрываются и вместе полностью составляют исходный многоугольник. Поэтому каждая точка фигуры учитывается ровно один раз, а общая площадь равна сумме площадей частей.
Обязательно ли разбивать многоугольник именно на треугольники?
Нет. Можно выделить прямоугольники, квадраты или другие фигуры, для которых известны формулы площади. Треугольники используют часто, потому что любой выпуклый многоугольник удобно разделить на них диагоналями.
Как выбрать основание и высоту треугольника?
Основанием можно взять любую сторону треугольника. Высота должна быть проведена из противоположной вершины перпендикулярно прямой, содержащей это основание.
Можно ли использовать разные способы разбиения одной фигуры?
Да, способ выбирают по удобству вычислений и данным в условии. Если разбиение выполнено правильно, итоговая площадь получится одинаковой.
Как убедиться, что при разбиении не пропущена часть многоугольника?
Проверьте, что все отрезки лежат внутри фигуры, части не накладываются, а их внешняя граница совпадает с границей исходного многоугольника. Полезно мысленно обвести каждую часть и проверить, что весь многоугольник покрыт.
§ 26. О вычислении площади произвольного многоугольника
