"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Ромб — четырёхугольник с равными сторонами, частный случай параллелограмма. Его площадь можно найти разными способами: по стороне и высоте, по диагоналям или по стороне и углу. Выбор формулы зависит от того, какие данные известны в задаче. Главное свойство, помогающее работать с диагоналями ромба: они пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Вершины обычно обозначают A, B, C, D, стороны — AB, BC, CD, DA. Ромб нужен не только как самостоятельная фигура: его свойства помогают находить площади и решать задачи о составных фигурах.
Диагонали ромба — отрезки, соединяющие его противоположные вершины: AC и BD. Их длины обозначим d₁ и d₂. Диагонали делят фигуру на части, и их свойства позволяют вывести отдельную формулу площади.
Площадь ромба — величина, которая показывает размер его внутренней области. Её обозначают буквой S. Площадь нужна, чтобы сравнивать фигуры и вычислять, сколько места занимает ромб; измеряют её квадратными единицами.
Высота ромба — перпендикуляр, проведённый между двумя параллельными сторонами. Высоту обозначают h, а сторону, к которой она проведена, — a. Высота показывает расстояние между сторонами, поэтому вместе со стороной используется для вычисления площади.
Ромб — это параллелограмм, значит, для него подходит формула площади параллелограмма S = ah. Здесь a — сторона, выбранная за основание, а h — высота, опущенная к этой стороне. Основание и высота образуют прямоугольник, равный по площади параллелограмму: треугольную часть у одного края можно перенести к другому. Поэтому площадь ромба равна произведению основания на расстояние между параллельными сторонами.
Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам, потому что ромб является параллелограммом, а у параллелограмма диагонали делятся пополам. Кроме того, рассмотрим треугольники, на которые одна диагональ разбивает ромб: их стороны равны, поэтому они равны. Из этого следует, что две части второй диагонали образуют с первой равные смежные углы; каждый из них прямой. Значит, диагонали ромба перпендикулярны.
Когда диагонали пересекаются, они образуют четыре треугольника. Их катеты — половины диагоналей: точка пересечения делит каждую диагональ пополам, а сами диагонали перпендикулярны. Все четыре треугольника равны, потому что у них одинаковые пары катетов. Поэтому достаточно найти площадь одного такого треугольника и умножить её на четыре.
Площадь одного из четырёх треугольников равна ½ · (d₁/2) · (d₂/2). Умножив её на четыре, получим 4 · ½ · (d₁/2) · (d₂/2) = ½d₁d₂. Так появляется формула S = ½d₁d₂: множитель ½ необходим, потому что каждая диагональ делится пополам, а площадь прямоугольного треугольника тоже содержит множитель ½. Формула позволяет обойтись без высоты.
Способ вычисления выбирают по данным задачи. Если известны сторона и высота, применяют S = ah; если известны обе диагонали — S = ½d₁d₂. Для стороны a и угла α между сторонами подходит S = a² sin α: высота в этом случае равна a sin α. Если дана только часть необходимых величин, сначала ищут недостающую, например с помощью теоремы Пифагора.
| Известные величины | Формула | Что обозначают буквы | На чём основана формула |
|---|---|---|---|
| Сторона и высота | S = ah | a — сторона, h — высота | Формула площади параллелограмма |
| Диагонали | S = ½d₁d₂ | d₁ и d₂ — диагонали ромба | Диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника |
| Сторона и угол между сторонами | S = a² sin α | a — сторона, α — угол между сторонами | Формула S = ah и h = a sin α |
| Выбор формулы по условию задачи | S = ah или S = ½d₁d₂ | Используйте известные величины либо сначала найдите недостающие | Свойства ромба и теорема Пифагора |
Сначала выпишите данные и проверьте, какие из них уже подходят к одной формуле. Если подходящих величин не хватает, определите, можно ли найти недостающую по свойствам диагоналей или по теореме Пифагора. В конце проверьте единицы: площадь должна быть записана в квадратных единицах.
Найдите площадь ромба со стороной 8 см и высотой 5 см. В условии даны основание и проведённая к нему высота — именно эти величины нужны для формулы площади параллелограмма. Поэтому вычисления можно начать сразу, не находя диагонали.
Ответ: 40 см².
Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите его площадь. Обе диагонали заданы напрямую, значит, искать высоту или сторону не требуется. Используем формулу площади через диагонали и не забываем множитель ½.
Ответ: 96 см².
Одна диагональ ромба равна 10 см, а сторона — 13 см. Найдите площадь. Известна только половина диагонального разреза, поэтому сначала применим свойства диагоналей: они перпендикулярны и делятся пополам. Получившийся прямоугольный треугольник имеет сторону ромба в качестве гипотенузы.
Ответ: 120 см².
Иногда записывают S = d₁d₂, забывая множитель ½. Так происходит, если не учесть, что диагонали делятся пополам и образуют четыре треугольника. Проверьте вывод: сумма площадей четырёх треугольников даёт только половину произведения диагоналей.
В формулу через диагонали могут подставить сторону или высоту. Причина — смешение названий элементов фигуры, хотя диагонали соединяют противоположные вершины, а высота перпендикулярна стороне. Перед подстановкой подпишите, какая величина дана и что именно требует выбранная формула.
Нельзя считать, что диагонали любого параллелограмма перпендикулярны. У параллелограмма диагонали делятся пополам, но прямой угол между ними — свойство ромба. Проверьте, что в условии действительно сказано о ромбе, прежде чем использовать перпендикулярность.
Ответ иногда оставляют в сантиметрах или вовсе не указывают единицы. Площадь — это произведение двух длин, поэтому её единица тоже должна быть квадратной. Умножьте единицы измерения, например см · см = см², и запишите их в ответе.
Для вычислений полезно знать формулу площади параллелограмма и свойства ромба: равенство сторон, деление диагоналей пополам и их перпендикулярность. Теорема Пифагора помогает найти неизвестную диагональ, если известны сторона и другая диагональ. Формулы площади пригодятся для фигур, составленных из ромбов и треугольников: общую площадь можно получить, складывая площади частей. Связь высоты с углом через синус показывает, как геометрические площади соединяются с тригонометрией.
Почему в формуле площади ромба через диагонали появляется множитель 1/2?
Диагонали делят ромб на четыре прямоугольных треугольника. Их общий катет — половина одной диагонали, а второй катет — половина другой, поэтому сумма площадей четырёх треугольников равна ½d₁d₂.
Обязательно ли диагонали ромба должны быть перпендикулярными?
Да, диагонали любого ромба перпендикулярны. Это следует из того, что они делятся пополам, а соседние стороны ромба равны.
Можно ли найти площадь ромба только по длине его стороны?
Нет, одной длины стороны недостаточно: ромбы с одинаковыми сторонами могут иметь разные углы и высоты. Нужны дополнительные данные, например высота, угол или диагональ.
Какую формулу выбрать, если в условии даны сторона и диагональ?
Можно найти половину известной диагонали и вместе с половиной второй диагонали составить прямоугольный треугольник, где сторона ромба — гипотенуза. По теореме Пифагора найдите вторую диагональ, затем используйте S = ½d₁d₂.
Чем формула площади ромба отличается от формулы площади квадрата?
Для ромба подходят формулы S = ah и S = ½d₁d₂, а для квадрата можно также использовать S = a². Квадрат — особый ромб, у которого все углы прямые и диагонали равны.
§ 24. Площадь ромба
