§ 23. Площадь треугольника

Определения и обозначения

Площадь треугольника — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает треугольник. Её обозначают буквой S. Знание площади нужно, чтобы сравнивать фигуры и решать задачи на неизвестные стороны или высоты.

Основание треугольника — сторона, выбранная для вычисления площади. От выбора основания зависит, к какой стороне нужно проводить высоту. Основанием можно считать любую сторону, если правильно подобрать соответствующую ей высоту.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Перпендикуляр образует с этой прямой угол 90°. Высота нужна для определения расстояния от вершины до основания.

Равновеликие треугольники — треугольники с равными площадями. Их форма и размеры при этом могут быть разными. Такое понятие помогает доказывать равенство площадей, не доказывая равенство самих фигур.

Как это устроено

Представим прямоугольник, у которого одна сторона равна основанию треугольника, а другая — его высоте. Диагональ прямоугольника делит его на два треугольника, равных по форме и площади. Поэтому площадь каждого из них составляет половину площади прямоугольника, то есть равна ah/2.

Такое же рассуждение можно провести с параллелограммом. Если достроить треугольник до параллелограмма с теми же основанием и высотой, получатся две равные части. Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, поэтому площадь исходного треугольника равна половине этого произведения.

Выбирать основание можно произвольно, но высота всегда должна соответствовать ему. Например, если основанием стала сторона a, в формулу подставляют высоту, проведённую именно к стороне a, а не к другой стороне. В тупоугольном треугольнике такая высота может опускаться на продолжение основания, потому что перпендикуляр строят к прямой, содержащей сторону.

В остроугольном треугольнике высоты обычно проходят внутри фигуры, а в прямоугольном две стороны уже перпендикулярны друг другу. В тупоугольном треугольнике некоторые высоты лежат вне него, но расстояние до прямой основания всё равно определяется перпендикуляром. Значит, во всех случаях используется одна формула S = ah/2.

Из формулы следует: если у двух треугольников равны основания и соответствующие высоты, то равны и произведения ah, а значит, равны площади. Особенно часто встречается случай общего основания между параллельными прямыми. Расстояния между такими прямыми одинаковы, поэтому высоты треугольников равны, и треугольники являются равновеликими.

Формула площади треугольника и её применение

Сначала определите, какая сторона выбрана основанием, и найдите высоту, проведённую к ней. Затем подставьте длины в нужную формулу и не забудьте разделить произведение на 2. В ответе для площади используйте квадратные единицы: см², м² и другие.

Разбор задач

Задача 1

Основание треугольника равно 12 см, а высота к нему — 5 см. Нужно найти площадь. Длины уже даны для одной пары «основание — соответствующая высота», поэтому дополнительный выбор делать не требуется.

1. Записываем формулу: S = ah/2.
2. Подставляем значения: S = 12 · 5 / 2 = 60/2 = 30 см².
3. Проверяем единицы: при умножении сантиметров на сантиметры получаются квадратные сантиметры.

Ответ: 30 см².

Задача 2

Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. В прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, поэтому один из них можно выбрать основанием, а второй будет высотой. Значит, применяется формула для половины произведения катетов.

1. Выбираем основание a = 6 см и высоту b = 8 см.
2. Вычисляем: S = ab/2 = 6 · 8 / 2 = 48/2 = 24 см².
3. Порядок выбора катетов не влияет на результат: произведение 6 · 8 такое же, как 8 · 6.

Ответ: 24 см².

Задача 3

Треугольники ABC и DBC имеют общее основание BC, а вершины A и D лежат на прямой, параллельной BC. Требуется доказать равенство их площадей. Для этого сравним не боковые стороны, а основание и высоты к нему.

1. У обоих треугольников основание одно и то же: BC.
2. Высоты, проведённые из A и D к прямой BC, равны, потому что это расстояния между одной и той же парой параллельных прямых.
3. По формуле S = ah/2 при одинаковых основании и высоте площади треугольников равны.

Ответ: S_ABC = S_DBC.

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножить основание на высоту и не разделить результат на 2. Так получают площадь параллелограмма, а не треугольника, потому что треугольник занимает только половину такой фигуры. Проверяйте себя вопросом: есть ли в записи формулы деление на 2?

Вторая ошибка — взять высоту к другой стороне. Основание и высота образуют связанную пару, поэтому нельзя подставлять длину произвольной высоты. Перед вычислением обозначьте выбранное основание и убедитесь, что высота проведена именно к нему.

Третья ошибка — принять за высоту наклонную сторону или любой отрезок внутри треугольника. Высота обязана быть перпендикулярна прямой основания, то есть угол у основания должен равняться 90°. Проверьте наличие прямого угла на чертеже или в условии.

Четвёртая ошибка — не заметить продолжение стороны в тупоугольном треугольнике. Высота может лежать вне фигуры, но её длина всё равно используется в формуле. Мысленно проведите прямую через основание и опустите на неё перпендикуляр из нужной вершины.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия перпендикуляра, высоты треугольника, параллельных прямых и площади прямоугольника. Они объясняют, как строится высота и почему формула содержит произведение основания на высоту.

Площадь треугольника используется при нахождении площадей многоугольников: сложную фигуру можно разбить на несколько треугольников. Сравнение площадей также помогает доказывать равновеликость фигур.

Из равенства S = ah/2 можно выразить неизвестную величину. Например, основание находят по формуле a = 2S/h, а высоту — по формуле h = 2S/a.

Что запомнить

• Площадь треугольника равна половине произведения основания на соответствующую высоту.
• Формула записывается так: S = ah/2.
• К любой стороне можно провести соответствующую ей высоту.
• Высота может лежать вне треугольника.
• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.
• Треугольники с равными основаниями и равными соответствующими высотами равновелики.