"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Равновеликими называют фигуры с равными площадями, а равносоставленными — фигуры, которые можно разрезать на попарно равные части. Эти понятия помогают сравнивать фигуры, даже если они выглядят по-разному: части одной фигуры можно переставить и получить другую. Главное следствие — равносоставленные фигуры равновелики, но равные площади сами по себе ещё не доказывают, что фигуры можно составить из одинаковых частей. Для многоугольников действует теорема, связывающая эти свойства.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равновеликие фигуры — фигуры, имеющие равные площади. Равенство площади не означает, что фигуры одинаковы по форме или совпадают при наложении. Это понятие нужно, чтобы сравнивать, сколько места занимают фигуры, не требуя от них одинакового вида.
Равносоставленные фигуры — фигуры, которые можно разбить на конечное число попарно равных частей. Иначе говоря, части одной фигуры можно сопоставить с частями другой так, чтобы каждая пара была равной. Это определение позволяет описать, как из частей одной фигуры получить другую.
Разбиение фигуры на части — представление её как объединения конечного числа частей без наложений и пробелов. Части должны вместе заполнить всю фигуру, а не заходить одна на другую и не оставлять пустых мест. Такое требование нужно, чтобы сумма площадей частей точно давала площадь исходной фигуры.
Равные части — части, которые можно совместить наложением. При равносоставленности каждой части первого разбиения соответствует равная ей часть второго. Такое попарное соответствие отличает равносоставленность от простого равенства общей площади.
Если две фигуры равносоставлены, площадь каждой части первой фигуры совпадает с площадью соответствующей части второй. Площадь всей фигуры равна сумме площадей частей её разбиения. Поэтому при сложении одинаковых попарных площадей получаются одинаковые суммы, то есть фигуры равновелики. Здесь важно, что части покрывают фигуры полностью и без наложений: иначе сумма могла бы не совпасть с площадью целого.
Чтобы из одной фигуры получить другую, сначала рассматривают её разбиение, а затем перемещают получившиеся части и складывают их в нужном порядке. Перемещение не меняет размеры и площадь части, поэтому составленная фигура сохраняет общую площадь исходной. Части при этом могут располагаться иначе: от них требуется покрыть новую фигуру без пробелов и наложений. Так равносоставленность наглядно показывает, почему разные по форме фигуры могут иметь одинаковую площадь.
Равновеликость не означает равенства фигур, потому что площадь сообщает только меру поверхности, а не форму границы или длины сторон. Например, прямоугольники 3 см × 8 см и 4 см × 6 см имеют площадь 24 см², но их стороны не совпадают по длине. Поэтому при наложении такие прямоугольники не совместятся. Если известно только равенство площадей, нельзя заключить, что фигуры одинаковы или что они уже разбиты на равные части.
Для многоугольников действует теорема: если два многоугольника равновелики, их можно разбить на конечное число попарно равных частей. Её смысл в том, что равенство площадей многоугольников можно обосновать не только вычислением, но и существованием подходящих разбиений. Условие здесь принципиально: теорема относится к многоугольникам, а не автоматически ко всем фигурам. В обратном направлении рассуждение тоже работает: равносоставленные многоугольники имеют равные площади, потому что их равные части дают одинаковую сумму площадей.
При сравнении площадей с помощью равносоставленности ищут разбиения, части которых можно попарно сопоставить или переставить. Можно мысленно разрезать один многоугольник и проверить, удаётся ли составить из частей другой. Если соответствующие части равны, это обосновывает равносоставленность, а значит, и равенство площадей. Просто посчитать общую площадь частей недостаточно для такого доказательства: нужно показать именно попарное равенство частей.
| Признак | Равновеликие фигуры | Равносоставленные фигуры |
|---|---|---|
| Что сравнивают или устанавливают | Площади фигур | Возможность разбить фигуры на попарно равные части |
| Связь между понятиями | Для многоугольников равновеликость позволяет заключить о возможности равносоставления | Равносоставленность всегда означает равновеликость |
| Пример способа обоснования | Вычислить площади и сравнить их | Разбить фигуры и сопоставить равные части |
Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить, что именно требуется доказать: равенство площадей или существование подходящих разбиений. Для многоугольников можно перейти от равновеликости к равносоставленности по теореме. А если разбиение уже дано, попарное равенство частей сразу помогает обосновать равенство площадей.
Задача 1. Два прямоугольника имеют площади 24 см². Следует ли из этого, что они равны? Сначала отделим вопрос о площади от вопроса о форме: равные площади показывают только, что прямоугольники занимают одинаковую площадь. Например, первый прямоугольник может иметь стороны 3 см и 8 см, а второй — 4 см и 6 см. Оба примера имеют площадь 24 см², но стороны у них разные, поэтому при наложении прямоугольники не совпадут.
Ответ: нет, из равенства площадей не следует равенство прямоугольников.
Задача 2. Фигуру разбили на три части площадью 2 см², 5 см² и 7 см². Из равных им частей составили другую фигуру. Обоснуйте, что фигуры равновелики. Здесь выражение «равных им частей» означает, что у новой фигуры есть соответствующие части с такими же площадями. Поэтому можно сложить площади частей каждого разбиения и сравнить результаты: пробелов и наложений в разбиениях нет.
Ответ: фигуры равновелики, так как площади их частей попарно совпадают, а площади частей складываются.
Задача 3. Докажите, что два равновеликих многоугольника равносоставлены, используя теорему о равновеликих многоугольниках. В этой задаче важны оба условия: фигуры равновелики и являются многоугольниками. Значит, можно применить теорему, связывающую равенство площадей многоугольников с их разбиением. Не нужно пытаться вывести равносоставленность только из численного равенства площадей без ссылки на это утверждение.
Ответ: многоугольники равносоставлены по теореме о равновеликих многоугольниках.
Первая ошибка — считать равновеликие фигуры равными. Её допускают, потому что слово «равные» звучит похоже, но равновеликость касается площади, а не совпадения формы и размеров. Проверь себя на прямоугольниках 3 × 8 и 4 × 6: площади равны, а стороны различны.
Вторая ошибка — утверждать, что равносоставленные фигуры могут иметь разные площади. Так думают, если представляют части по-разному расположенными, но перемещение не меняет площадь каждой части. Проверь рассуждение: сложи площади соответствующих частей обеих фигур — суммы должны совпасть.
Третья ошибка — считать доказанной равносоставленность, сравнив только общие площади частей. Одинаковая сумма не показывает, что части можно попарно совместить; например, составы частей могут различаться. Проверь каждую часть отдельно и укажи, какой части другого разбиения она равна.
Четвёртая ошибка — применять теорему о равновеликих и равносоставленных фигурах ко всем фигурам без оговорок. Причина — забытое условие теоремы: рассматриваются многоугольники. Перед применением проверь, что обе фигуры являются многоугольниками и что выполнены условия утверждения.
Для этой темы нужны понятие площади и правило сложения площадей частей: именно оно объясняет, почему площадь целого равна сумме площадей его разбиения. Если это правило освоено, связь равносоставленности с равновеликостью становится прямым рассуждением, а не отдельным фактом. При работе с многоугольниками важно уметь разбивать их на части и сравнивать площади полученных фигур.
Эти приёмы пригодятся дальше при доказательстве формул площадей и решении задач, где фигуру удобно разрезать или перестроить. Разбиение помогает заменить сложную фигуру несколькими простыми, а затем сложить площади частей. Сопоставление частей позволяет обосновать результат, даже когда исходные фигуры выглядят по-разному.
Могут ли фигуры быть равновеликими, но не равными?
Да. Например, прямоугольники со сторонами 3 см и 8 см, а также 4 см и 6 см имеют площадь 24 см², но при наложении не совпадут. Равенство площадей не требует одинаковой формы.
Почему равносоставленные фигуры имеют одинаковую площадь?
Каждая часть одной фигуры равна соответствующей части другой, поэтому их площади совпадают попарно. Площадь каждой целой фигуры равна сумме площадей частей, значит, эти суммы равны.
Обязательно ли у равносоставленных фигур одинаковое число частей?
В разбиениях, доказывающих равносоставленность, части сопоставляются попарно, поэтому в выбранных разбиениях их число одинаково. Но одну и ту же фигуру можно разбить по-разному, в том числе на большее число частей.
Достаточно ли равенства площадей, чтобы доказать равносоставленность?
Для произвольных фигур одного равенства площадей недостаточно. Для многоугольников это следует из теоремы: равновеликие многоугольники можно разбить на попарно равные части.
Для каких фигур применяется теорема о равновеликости и равносоставленности?
В рассматриваемой формулировке теорема относится к многоугольникам. Не следует автоматически переносить её на любые фигуры, например на фигуры с криволинейными границами.
§ 22. О равновеликости и равносоставленности фигур
