§ 21. Площадь параллелограмма

Определения и обозначения

Площадь параллелограмма — величина, характеризующая часть плоскости, занимаемую этой фигурой; площадь обозначают буквой S. Представь её как меру поверхности внутри границы параллелограмма. Площадь помогает сравнивать фигуры и вычислять, сколько единичных квадратов помещается внутри них.

Основание параллелограмма — выбранная сторона, к которой проводят перпендикуляр из вершины противоположной стороны. Перпендикуляр образует с прямой основания прямой угол. Основанием может стать любая сторона, но его выбор определяет, какую высоту нужно использовать в вычислениях.

Высота параллелограмма — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону, или длина этого перпендикуляра. Поэтому словом «высота» называют и отрезок, и его числовую длину. Она измеряет расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат противоположные стороны.

Буквой a обозначают длину выбранного основания, а hₐ — длину соответствующей ему высоты. Нижний индекс напоминает, к какому основанию относится высота. Например, нельзя подставить вместо hₐ высоту, проведённую к другой стороне: такая пара величин не описывает нужное расстояние.

Как это устроено

Проведём высоту из вершины параллелограмма к выбранному основанию и мысленно отрежем получившийся у края прямоугольный треугольник. Перенесём его к противоположной стороне фигуры. Наклонная граница превратится в прямую, и получится прямоугольник с теми же основанием и высотой. При разрезании и переносе части ни один участок не исчезает и не добавляется, значит, площадь сохраняется.

У полученного прямоугольника одна сторона равна основанию параллелограмма, а другая — его высоте. Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних сторон, поэтому площадь исходной фигуры тоже равна произведению основания на высоту. Если основание имеет длину a, а соответствующая высота — h, получаем формулу S = ah. Основание и высоту измеряют в единицах длины, а площадь — в квадратных единицах.

Высоту можно провести к любой стороне, потому что каждая сторона может быть выбрана основанием. Но у одного основания и у другой стороны обычно разные длины, а значит, различаются и соответствующие высоты. Чтобы формула дала правильную площадь, нужно согласовать пару: основанию a соответствует hₐ, а стороне b — h_b. Тогда S = a · hₐ и S = b · h_b описывают одну и ту же площадь.

Представь, что одну боковую сторону параллелограмма сдвигают наклонно, не меняя расстояния между парой параллельных прямых. Основание остаётся прежним, и высота между этими прямыми тоже не меняется. Фигура при этом выглядит более или менее наклонённой, но её площадь остаётся равной произведению тех же основания и высоты. Это объясняет, почему один только наклон сторон не определяет площадь.

Иногда перпендикуляр из вершины не попадает на сам отрезок основания и пересекает только его продолжение. Это возможно, например, когда параллелограмм сильно наклонён. Для вычисления берут длину перпендикуляра до прямой основания: именно она задаёт расстояние между параллельными прямыми. Поэтому формула S = ah действует и в таком случае.

Формула площади параллелограмма в зависимости от выбранного основания

Сначала выбери сторону, длина которой известна или нужна в задаче. Затем найди высоту, перпендикулярную прямой этой стороны, и используй соответствующую строку таблицы. Если известны обе пары, результаты должны совпасть: площадь фигуры не зависит от выбора основания.

Разбор задач

Задача 1. Основание параллелограмма равно 8 см, высота к нему — 5 см. Найдите площадь. Известны именно согласованные величины: высота проведена к стороне длиной 8 см. Значит, можно сразу применить формулу S = ah.

1. Записываем формулу площади: S = ah.
2. Подставляем данные: S = 8 · 5 = 40.
3. Указываем квадратные единицы, потому что перемножены две длины, измеренные в сантиметрах.

Ответ: 40 см².

Задача 2. Площадь параллелограмма равна 54 см², а основание — 9 см. Найдите высоту к этому основанию. В формуле S = ah неизвестна высота, поэтому выразим её делением площади на основание. Поскольку дана высота именно к известному основанию, дополнительных величин искать не нужно.

1. Из S = ah получаем h = S / a.
2. Подставляем значения: h = 54 / 9 = 6.
3. Проверяем единицы: см² / см = см, значит, длина найдена в сантиметрах.

Ответ: 6 см.

Задача 3. Стороны параллелограмма равны 10 см и 13 см, высота к стороне 13 см — 6 см. Найдите площадь и высоту к стороне 10 см. Сначала используем известную сторону вместе с высотой, которая проведена именно к ней. Затем ту же площадь представим как произведение другой стороны и высоты к ней.

1. Находим площадь по стороне 13 см: S = 13 · 6 = 78 см².
2. Обозначим искомую высоту к стороне 10 см через h. Тогда 78 = 10h.
3. Делим обе части равенства на 10: h = 78 / 10 = 7,8 см.
4. Проверяем: 10 см · 7,8 см = 78 см², как и должно быть.

Ответ: площадь равна 78 см², высота к стороне 10 см — 7,8 см.

Типичные ошибки

Иногда перемножают две стороны параллелограмма и считают результат площадью. Это работает для прямоугольника, но у параллелограмма площадь зависит ещё и от угла наклона сторон. Проверь, какая из данных длин является высотой: если в задаче приведены только стороны, формулы S = ah для вычисления обычно недостаточно. Используй произведение основания и соответствующей высоты.

Другая ошибка — взять высоту, проведённую к соседней стороне, а не к выбранному основанию. Такое случается, когда обозначения hₐ и h_b не связывают с конкретными сторонами. Перед вычислением проверь, перпендикулярна ли выбранная высота прямой основания. Если нет, эта пара величин не подходит для формулы.

Боковую сторону иногда принимают за высоту, потому что она соединяет две параллельные стороны. Но высота обязана образовывать прямой угол с прямой основания, а боковая сторона обычно наклонена. Проведи или представь прямой угол у основания: если сторона его не образует, её длина не является высотой. Исключение — частный случай, когда сторона действительно перпендикулярна основанию.

Некоторые не используют высоту, если она падает на продолжение основания. Причина ошибки — ожидание, что высота обязательно должна лежать внутри фигуры. Проверь не положение перпендикуляра относительно отрезка, а то, что он перпендикулярен прямой основания. Если это так, высота подходит и формула не меняется.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, что параллелограмм — четырёхугольник с попарно параллельными противоположными сторонами. Пригодятся также свойства параллельных прямых и понятие перпендикуляра: с их помощью определяют высоту как расстояние между прямыми. Формула площади связывает длину стороны с длиной перпендикуляра к ней. Она помогает находить неизвестные элементы параллелограмма и применяется в задачах о площадях треугольников и других фигур.

Что запомнить

• Площадь параллелограмма равна произведению основания на соответствующую высоту.
• Формула: S = ah.
• К каждому основанию относится своя высота.
• Высота перпендикулярна прямой, содержащей основание.
• Высота может быть проведена внутри параллелограмма или к продолжению основания.
• При одной и той же площади произведение основания на соответствующую высоту постоянно.