"Геометрия (изд. "БИНОМ. Лаборатория знаний")", Глейзер Г.Д.
Площадь многоугольника показывает, сколько места он занимает на плоскости, и измеряется квадратными единицами. Чтобы найти её, фигуру сравнивают с единичным квадратом, разбивают на части с известными площадями или помещают внутрь квадрата и вычитают площади внешних частей. Главное правило для квадрата со стороной a — S = a². Фигуры разной формы могут иметь одинаковую площадь: такие многоугольники называют равновеликими.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь многоугольника — величина, показывающая, какую часть плоскости занимает многоугольник. Площадь обычно обозначают буквой S. Она помогает сравнивать фигуры по занимаемому месту, даже если их контуры устроены по-разному.
Единица площади — площадь квадрата, сторона которого равна единице длины. Например, квадрат со стороной 1 см имеет площадь 1 см². Связь с единицами длины такая: площадь измеряют не сантиметрами, а квадратами со стороной в сантиметр, поэтому пишут «квадратный сантиметр».
Площадь квадрата со стороной a равна a². Это следует из того, что квадрат можно заполнить рядами одинаковых единичных квадратов: число рядов равно a, и в каждом ряду тоже a квадратов. Поэтому количество единичных квадратов равно a · a, то есть a².
Равновеликие многоугольники — это многоугольники, площади которых равны. Их стороны и форма могут быть разными: совпадать должна именно площадь. Понятие нужно, чтобы сравнивать фигуры не только по внешнему виду, но и по количеству места, которое они занимают.
Измерить площадь — значит сравнить фигуру с выбранным квадратом, площадь которого принята за единицу. Мысленно или на чертеже фигуру покрывают такими квадратами и считают их количество. Если единичных квадратов не помещается целое число, можно использовать части единицы; результат всё равно выражают числом квадратных единиц. Без общей единицы сравнение площадей было бы неудобным: одна и та же фигура могла бы описываться разными числами.
Пусть длина стороны квадрата равна a выбранным единицам длины. По каждой стороне укладывается a единичных отрезков, а значит, в каждом ряду помещается a единичных квадратов. Таких рядов тоже a, поэтому всего получается a · a = a² квадратов. Например, квадрат со стороной 4 см заполняют четырьмя рядами по четыре квадрата площадью 1 см²; это объясняет, почему площадь равна 16 см².
У площади есть важные свойства. Равные фигуры занимают одинаковое место, поэтому их площади равны. Если фигуру разрезать на неперекрывающиеся части, площадь целого равна сумме площадей частей: каждый участок учитывается ровно один раз. Это свойство позволяет вычислять площадь сложной фигуры, даже когда для неё нет отдельной готовой формулы.
Чтобы найти площадь многоугольника, его разбивают на простые фигуры, например квадраты и прямоугольники. Затем для каждой части находят площадь по известным правилам и складывают результаты. Разбиение должно закрывать весь многоугольник без пробелов, а части не должны накладываться друг на друга. Иначе часть фигуры потеряется или будет посчитана дважды.
Иногда многоугольник удобно рассматривать внутри квадрата. Тогда сначала находят площадь квадрата, а затем — площади участков квадрата, которые не входят в многоугольник. Сумму этих внешних площадей вычитают из площади квадрата. Такой способ особенно полезен, когда внешние части простые и их легче измерить, чем сам многоугольник.
| Ситуация | Основная идея | Что требуется |
|---|---|---|
| Многоугольник — квадрат | Использовать S = a² | Длина стороны и единица измерения |
| Многоугольник разбит на простые фигуры | Найти и сложить площади частей | Размеры частей и отсутствие пропусков и перекрытий |
| Многоугольник расположен внутри квадрата | Вычесть площади внешних частей из площади квадрата | Площадь квадрата и площади всех частей вне многоугольника |
| Сторона квадрата задана в единицах длины | Возвести длину стороны в квадрат | Записать результат в квадратных единицах |
Сначала определи, к какой строке таблицы подходит задача: это подскажет способ вычисления. Затем проверь, какие размеры или площади уже известны и какие нужно найти. В конце убедись, что ответ записан в правильных единицах площади.
Найти площадь квадрата со стороной 5 см. Здесь не требуется делить фигуру на части, потому что для квадрата есть готовое правило. Сторона дана в сантиметрах, значит результат нужно выразить в квадратных сантиметрах.
Проверим смысл вычисления: на стороне помещается пять квадратов со стороной 1 см. Значит, в квадрате будет пять рядов по пять таких квадратов. Ответ: 25 см².
Многоугольник разбит на квадрат и прямоугольник с известными размерами; нужно найти его площадь. Для вычисления нужны длина стороны квадрата и длины сторон прямоугольника. Поскольку части образуют всю фигуру и не перекрываются, их площади можно сложить.
При подстановке известных размеров вычисления выполняют отдельно для каждой части. Перед сложением проверь, что обе площади выражены в одинаковых единицах, например в см². Ответом будет их сумма, записанная в квадратных единицах.
В квадрат со стороной 10 см вписан многоугольник, а площади четырёх частей квадрата вне него равны 8, 12, 15 и 20 см². Нужно найти площадь многоугольника. Удобно сначала найти площадь всего квадрата, а затем убрать участки, которые в искомую фигуру не входят.
Проверяем, что учтены все четыре части вне многоугольника. Площадь самого многоугольника не включалась в сумму для вычитания. Ответ: 45 см².
Площадь иногда записывают в сантиметрах, хотя сантиметр измеряет длину. Так происходит, когда забывают, что единица площади — это квадрат, а не отрезок. Проверь обозначение: у площади должны быть квадратные единицы, например см² или м².
Другая ошибка — считать, что сторона квадрата и его площадь обозначают одно и то же. Сторона 5 см — это длина, а площадь квадрата равна 5² = 25 см². Чтобы себя проверить, посмотри на единицы: у стороны одна размерность длины, у площади — квадратная.
При разбиении фигуры могут сложить площади перекрывающихся частей или пропустить часть многоугольника. Это случается, если ориентироваться только на рисунок и не проследить границы разбиения. Проверь, что части полностью покрывают фигуру и не накладываются; каждую точку внутренней области нужно учесть ровно один раз.
При способе вычитания можно забыть одну внешнюю часть или случайно вычесть часть самого многоугольника. Причина обычно в том, что не все области квадрата отдельно отмечены и проверены. Сверь список с чертежом: сумма должна включать все участки квадрата вне фигуры и только их.
Для вычисления площади нужны знания об единицах длины и площади, а также умение находить площади квадрата и прямоугольника. Длина стороны задаётся в сантиметрах или другой единице длины, а результат вычисления площади записывается в квадратных единицах. Если правила для простых фигур известны, ими можно воспользоваться при разбиении более сложного многоугольника.
Разбиение помогает находить площади сложных фигур и доказывать равновеликость многоугольников. Если два многоугольника можно составить из частей с равными суммарными площадями, то они равновелики. Этот подход пригодится и в задачах, где фигуры имеют разную форму, но одинаковую площадь.
Почему площадь квадрата со стороной 4 см равна 16 см², а не 8 см²?
Квадрат можно заполнить четырьмя рядами по четыре квадратика размером 1 см × 1 см. Всего получится 4 · 4 = 16 единичных квадратов, поэтому площадь равна 16 см². Число 8 получается при сложении двух сторон, а не при измерении площади.
Чем квадратный сантиметр отличается от сантиметра?
Сантиметр — единица длины, которой измеряют отрезки. Квадратный сантиметр — единица площади: это площадь квадрата со стороной 1 см. Поэтому см² используют для площади, а см — для длины.
Можно ли найти площадь многоугольника, если его нельзя разделить только на квадраты?
Да. Многоугольник можно разделить на прямоугольники, треугольники и другие фигуры, площади которых умеем находить. Затем складывают площади частей, если они не перекрываются и вместе составляют весь многоугольник.
Почему при разбиении многоугольника площади частей можно складывать?
Части вместе покрывают весь многоугольник, а внутренние точки одной части не принадлежат другой. Поэтому ни один участок не считается дважды и ни один не теряется. По свойству площади площадь целой фигуры равна сумме площадей её частей.
Как найти площадь фигуры, если известны площади квадрата и частей вокруг неё?
Сначала находят площадь всего квадрата. Затем складывают площади всех частей, которые находятся вне фигуры, и вычитают эту сумму из площади квадрата. Нужно проверить, что учтены все внешние части и ни одна часть самой фигуры не включена в вычитание.
§ 20. Площадь многоугольника в квадрате
