§ 19. Об измерении площадей многоугольников

Определения и обозначения

Площадь многоугольника — величина, характеризующая, сколько места многоугольник занимает на плоскости. Её измеряют, сравнивая фигуру с принятой единицей площади. Так можно не только сравнить две фигуры, но и получить числовое значение площади каждой из них.

Единица площади — площадь выбранного квадрата, которую принимают за единицу измерения. Например, квадратный сантиметр (см²) — площадь квадрата со стороной 1 см, а квадратный метр (м²) — площадь квадрата со стороной 1 м. Выбор единицы помогает записать результат измерения и понять его размер.

Равновеликие многоугольники — многоугольники, площади которых равны. Их стороны и форма могут быть разными, поэтому равновеликость не означает, что фигуры совпадают при наложении. Это понятие нужно, чтобы сравнивать фигуры именно по занимаемой площади.

Измерение площади — сравнение площади фигуры с выбранной единицей и выражение результата числом. Например, если фигура занимает столько же места, сколько 12 единичных квадратов, её площадь равна 12 квадратным единицам. Число записывают вместе с обозначением единицы, иначе результат измерения будет неполным.

Как это устроено

Квадрат выбирают в качестве единицы, потому что его легко повторять на плоскости рядами и столбцами. Одинаковые квадраты могут покрыть многоугольник без пустых промежутков и наложений, поэтому их удобно считать. Если взять квадрат меньшего размера, на ту же фигуру поместится больше таких единиц; если большего — меньше. Значит, числовое значение зависит от размера выбранной мерки.

Когда многоугольник покрывают единичными квадратами, его площадь выражают числом этих квадратов. Каждый квадрат занимает одну и ту же заранее выбранную площадь, поэтому подсчёт показывает, сколько таких мерок помещается в фигуре. Удобно представлять, что квадраты плотно прилегают друг к другу: промежутки оставили бы часть фигуры неизмеренной, а наложение привело бы к повторному учёту одной области. Для сложной границы можно мысленно делить квадраты на части.

Если два многоугольника равны, один можно совместить с другим так, чтобы соответствующие точки совпали. При таком совмещении фигуры занимают одну и ту же область плоскости, поэтому их площади равны. Но для равенства площадей совпадение формы не обязательно: достаточно, чтобы сравниваемые фигуры занимали одинаковую по площади часть плоскости. Поэтому равновеликие фигуры могут выглядеть по-разному.

Многоугольник иногда удобно разделить на несколько частей, чтобы измерить или вычислить площади попроще. Если части не перекрываются и вместе составляют исходную фигуру, каждая область учитывается ровно один раз. Поэтому площадь целого равна сумме площадей частей. Если части перекрываются, простое сложение посчитает общую область дважды, и результат окажется больше нужного.

Площадь одной и той же фигуры можно выразить разными числами, если использовать разные единицы. Например, большой единичный квадрат заменяет несколько маленьких, поэтому при переходе к более крупной единице числовое значение уменьшается. Сама фигура при этом не меняется, а значит, не меняется и её площадь как величина. При переводе квадратных единиц учитывают изменение по двум направлениям: если линейная единица увеличилась в 10 раз, единица площади увеличилась в 10 × 10 = 100 раз.

Основные свойства площади многоугольника

Сначала определите, какая ситуация описана в задаче, а затем выберите подходящее свойство. При сложении проверьте, что части не перекрываются и составляют всю фигуру. Если меняете единицу, учитывайте, во сколько раз изменяется именно квадратная мерка.

Разбор задач

Квадрат разбит на 36 одинаковых клеток площадью 1 см² каждая. Найдите его площадь.

Клетка здесь — единичный квадрат, площадь которого уже известна. Поэтому нужно выяснить, сколько таких квадратов полностью составляют исходную фигуру. Все 36 клеток одинаковы и покрывают квадрат без промежутков и наложений.

1. Одна клетка имеет площадь 1 см².
2. Умножаем площадь одной клетки на число клеток: 36 × 1 см² = 36 см².
3. Записываем результат в квадратных сантиметрах, так как площадь каждой клетки дана именно в этих единицах.

Ответ: 36 см².

Многоугольник составлен из двух неперекрывающихся фигур площадями 12 см² и 7 см². Найдите площадь многоугольника.

Известны площади обеих частей, и они не перекрываются. Значит, вместе они занимают всю площадь многоугольника, причём никакая область не учитывается дважды. Применяем свойство сложения площадей частей.

1. Записываем площади частей: 12 см² и 7 см².
2. Складываем их: 12 см² + 7 см² = 19 см².
3. Оставляем единицу см², поскольку площади частей заданы в квадратных сантиметрах.

Ответ: 19 см².

Фигура занимает 240 квадратных сантиметров. Выразите её площадь в квадратных дециметрах.

Нужно заменить квадратные сантиметры квадратными дециметрами, а не просто изменить название единицы. Так как 1 дм = 10 см, то квадрат со стороной 1 дм содержит 10 × 10 = 100 квадратов со стороной 1 см. Следовательно, 1 дм² = 100 см².

1. Записываем соотношение: 1 дм² = 100 см².
2. Переводим 240 см² в дм² делением на 100: 240 ÷ 100 = 2,4.
3. Указываем результат в квадратных дециметрах.

Ответ: 2,4 дм².

Типичные ошибки

Ошибка — считать равновеликими только фигуры одинаковой формы. Так думают, потому что привычные примеры равных площадей часто выглядят одинаково, но для равенства площадей совпадение фигур не требуется. Сравнивайте количество занимаемого места или используйте вычисления, а не только внешний вид. Проверка: можно ли получить одинаковую площадь, разбив фигуры на части или измерив их одной меркой?

Ошибка — складывать площади перекрывающихся частей. Общая область в этом случае попадёт в сумму дважды, хотя в исходной фигуре она есть только один раз. Перед сложением убедитесь, что части не накладываются и вместе покрывают всю фигуру. Если перекрытие есть, его площадь нужно учесть отдельно.

Ошибка — переводить квадратные единицы как линейные: например, делить см² на 10 при переводе в дм². Причина в том, что запоминают соотношение 1 дм = 10 см, но не учитывают две стороны квадрата. Поскольку 1 дм² = 100 см², число квадратных сантиметров делят на 100. Проверить себя можно, представив квадрат 1 дм на 1 дм: в нём 10 × 10 маленьких квадратов по 1 см².

Ошибка — записывать площадь только числом, например 36. Без единицы измерения непонятно, измеряли ли фигуру в см², м² или других единицах. Записывайте число вместе с квадратной единицей, принятой в задаче. После вычисления проверьте, что единица ответа соответствует единицам исходных данных или выполненному переводу.

Связь с другими темами

Для изучения площадей нужно уметь распознавать квадрат и многоугольник, понимать, когда фигуры равны, и знать единицы длины. Эти знания помогают выбрать квадратную единицу и правильно её записать. Свойства площади пригодятся при выводе и применении формул площадей треугольника, параллелограмма и трапеции. Разбиение многоугольника на части также используют при вычислении площадей сложных фигур.

Что запомнить

• Площадь характеризует, какую часть плоскости занимает фигура.
• Единицей площади служит площадь выбранного квадрата.
• Равные фигуры имеют равные площади.
• Площадь фигуры равна сумме площадей её неперекрывающихся частей.
• Числовое значение площади зависит от выбранной единицы измерения.
• При переводе квадратных единиц коэффициент перехода возводят в квадрат.