"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Площадь показывает, какую часть плоскости занимает фигура. Для трапеции её находят по длинам двух параллельных сторон — оснований — и высоте: сначала вычисляют полусумму оснований, затем умножают её на высоту. Площадь любого выпуклого многоугольника можно найти, разделив его диагоналями на треугольники и сложив площади частей. Главное — правильно определить высоту и провести разбиение без пробелов и наложений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Трапеция — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Обычно параллельные стороны изображают сверху и снизу, а две остальные называют боковыми. Это определение помогает сразу увидеть, какие стороны участвуют в формуле площади.
Основания трапеции — её параллельные стороны; их длины обычно обозначают a и b. Основания могут быть разной длины, поэтому при вычислении площади нужны оба значения. По ним находят среднюю длину, которая учитывает и широкую, и узкую часть трапеции.
Высота трапеции — отрезок, перпендикулярный основаниям и соединяющий прямые, на которых они лежат. Его длину обозначают h. Высота нужна, чтобы учесть расстояние между основаниями; наклонная боковая сторона обычно этому расстоянию не равна.
Площадь произвольного многоугольника — величина части плоскости, ограниченной его сторонами. Её можно вычислить, разделив многоугольник на треугольники с известными площадями. Такое определение полезно, когда для всей фигуры нет одной простой формулы.
Формулу площади трапеции можно понять через преобразование фигуры. Если взять такую же трапецию, перевернуть её и приложить к первой, получится параллелограмм: его основание равно сумме оснований трапеции, а высота остаётся той же. Площадь этого параллелограмма делится поровну между двумя одинаковыми трапециями, поэтому площадь одной трапеции вдвое меньше.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту, значит, для двух трапеций она равна (a + b)h. Делим это значение на 2 и получаем S = (a + b)h / 2. Выражение (a + b) / 2 — полусумма оснований, то есть их среднее арифметическое; оно показывает среднюю ширину трапеции на всём расстоянии h.
Многоугольник можно разделить диагоналями на треугольники, потому что диагональ соединяет две несоседние вершины и проходит внутри выпуклой фигуры. Если провести диагонали из одной вершины, части будут соседними треугольниками: их границы совпадут по диагоналям, а внутренние области не наложатся. Вместе эти треугольники покроют весь многоугольник.
У каждого треугольника есть собственная площадь, поэтому площадь исходного многоугольника равна сумме площадей всех частей: S = S₁ + S₂ + ... + Sₙ. Сложение работает потому, что области треугольников не перекрываются и не оставляют пустых участков. Для выпуклого многоугольника с n сторонами диагонали из одной вершины образуют n − 2 треугольника.
Чтобы вычисления были проще, выбирай диагонали, которые дают треугольники с известными сторонами и высотами. Если уже отмечены необходимые длины или перпендикуляры, постарайся сохранить их в получившихся частях. Так не придётся искать новые данные или решать лишние задачи перед сложением площадей.
| Фигура | Что известно | Способ вычисления площади | Формула |
|---|---|---|---|
| Трапеция | Длины оснований a и b, высота h | Найти полусумму оснований и умножить её на высоту | S = (a + b)h / 2 |
| Произвольный многоугольник | Стороны, диагонали, высоты или другие необходимые элементы | Разбить на треугольники и сложить их площади | S = S₁ + S₂ + ... + Sₙ |
Сначала определи, какая фигура дана и какие её элементы известны. Для трапеции проверь, что указана именно высота, а для многоугольника установи площади всех частей. После вычислений не забудь указать квадратные единицы, например см².
Задача 1. Основания трапеции равны 8 см и 14 см, а высота — 5 см. Найдём площадь. Здесь известны все величины, нужные для формулы, поэтому сначала сложим основания, а затем умножим их полусумму на высоту.
Ответ: 55 см². Проверка: полусумма оснований равна 11 см, и 11 · 5 = 55 см². Площадь получилась в квадратных сантиметрах, как и должно быть при умножении длин.
Задача 2. Площадь трапеции равна 120 см², основания равны 10 см и 14 см. Найдём высоту. Неизвестной является h, поэтому преобразуем формулу площади, оставив высоту одну в левой части.
Ответ: 10 см. Проверим результат: полусумма оснований равна 12 см, а 12 · 10 = 120 см². Значит, найденная высота действительно даёт указанную площадь.
Задача 3. Пятиугольник разбили диагоналями на три треугольника; их площади равны 12 см², 18 см² и 25 см². Найдём площадь пятиугольника. Разбиение покрывает фигуру целиком без наложений, поэтому достаточно сложить площади частей.
Ответ: 55 см². Проверка состоит в том, чтобы убедиться, что учтены все три треугольника. Если одна часть пропущена или какая-либо область посчитана дважды, сумма не будет площадью всего пятиугольника.
Иногда основания трапеции перемножают, хотя нужно найти их полусумму. Так бывает, если перепутать формулу с формулами для других фигур. Проверь себя: в числителе должны стоять a и b со знаком сложения, а после этого сумма делится на 2.
Можно правильно сложить основания и умножить на высоту, но забыть разделить результат на 2. Причина в том, что запоминают умножение на h, но пропускают слово «полусумма». Проверь запись формулы целиком: S = (a + b)h / 2, а не (a + b)h.
За высоту иногда принимают боковую сторону трапеции. Это допустимо только тогда, когда боковая сторона перпендикулярна основаниям; в остальных случаях она наклонная и длиннее высоты. Проведи прямой угол у отрезка, принятого за высоту: если его нет, нужно найти перпендикулярное расстояние между основаниями.
При разбиении многоугольника можно посчитать одну область дважды или забыть часть. Такая ошибка появляется, когда диагонали проведены неаккуратно или суммы записываются без проверки чертежа. Убедись, что треугольники покрывают всю фигуру, соприкасаются только границами и каждый учтён ровно один раз.
Для работы с трапецией пригодятся формулы площадей прямоугольника, параллелограмма и треугольника. Свойства параллельных прямых и перпендикуляра помогают распознать основания и правильно провести высоту. Без этих знаний легко перепутать высоту с боковой стороной.
Разбиение на треугольники позволяет находить площади сложных фигур, например участков земли неправильной формы. Этот способ полезен и при работе с многоугольниками на чертежах и координатной плоскости. Позже на нём будут основаны другие способы вычисления площадей многоугольников.
Почему в формуле площади трапеции используется полусумма оснований?
При вычислении площади учитываются оба основания: длинное и короткое. Их полусумма — это среднее арифметическое длин оснований, которое умножают на высоту трапеции.
Можно ли считать боковую сторону трапеции её высотой?
Только если боковая сторона перпендикулярна основаниям. В общем случае высота — это перпендикулярное расстояние между основаниями, а боковая сторона может быть наклонной.
Как найти площадь трапеции, если известны её площадь и основания?
Используй равенство S = (a + b)h / 2 и вырази высоту: h = 2S / (a + b). Сложи основания, удвой площадь и раздели полученное число на сумму оснований.
На сколько треугольников можно разбить многоугольник?
Выпуклый многоугольник с n сторонами можно разбить диагоналями из одной вершины на n − 2 треугольника. Например, пятиугольник делится на три треугольника.
Что делать, если в многоугольнике нельзя сразу провести удобную диагональ?
Выбери другую вершину или проведи несколько диагоналей, чтобы получить части, площади которых можно найти. Если фигура невыпуклая, диагональ должна проходить внутри неё и не пересекать другие стороны.
11.6. Площадь трапеции и произвольного многоугольника
