"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Объём показывает, сколько места фигура занимает в пространстве. Чтобы измерить его, фигуру мысленно заполняют одинаковыми кубиками без промежутков и наложений. Объём одного такого кубика принимают за единицу измерения, поэтому результат записывают в кубических единицах. Для прямоугольного параллелепипеда число кубиков можно найти умножением длины, ширины и высоты, а объём составной фигуры — сложением объёмов её неперекрывающихся частей.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Объём фигуры — величина, показывающая, сколько места фигура занимает в пространстве. Его можно представить через сравнение: если одна коробка вмещает больше одинаковых кубиков, чем другая, то её объём больше. Это понятие нужно, чтобы измерять вместимость и сравнивать пространственные фигуры.
Единичный куб — куб, ребро которого равно выбранной единице длины, например одному сантиметру. Такой куб используют как меру: выясняют, сколько таких кубиков помещается внутри фигуры. Выбор единицы позволяет измерять разные фигуры одним и тем же способом.
Кубическая единица — объём единичного куба, например 1 см³ или 1 м³. Она образуется из трёх единиц длины: куб со стороной 1 см занимает 1 см · 1 см · 1 см, то есть 1 см³. Кубические единицы нужны, чтобы записывать результат измерения объёма.
Объём прямоугольного параллелепипеда — число единичных кубов, которыми его можно заполнить без промежутков и наложений. Если кубики уложены ровно, их можно пересчитать по слоям. Это определение помогает перейти от наглядного подсчёта к формуле.
Представим, что две фигуры заполнены одинаковыми кубиками. Если одна фигура вмещает больше кубиков, значит, она занимает больше места; если число кубиков одинаково, объёмы равны. Так сравнение объёмов превращается в подсчёт одинаковых мер, как при измерении длины или площади.
Для измерения нужно сначала договориться, какой куб считать единицей. Если взять кубики меньшего размера, в той же фигуре поместится больше штук; если взять крупнее — меньше. Поэтому числовое значение объёма зависит от выбранной единицы, хотя сама фигура не меняется: 1 м³ и 1 см³ описывают разные по величине единицы объёма.
У прямоугольного параллелепипеда кубики удобно считать слоями. Например, если вдоль одного края помещаются 3 кубика, а вдоль другого — 2, то в одном слое будет 3 · 2 = 6 кубиков. Если таких слоёв два, всего их 6 · 2 = 12; умножение числа кубиков в слое на количество слоёв учитывает каждый кубик ровно один раз.
Обозначим длину параллелепипеда через a, ширину через b, а высоту через c. В каждом слое находится a · b единичных кубиков, если размеры выражены в единичных отрезках, а количество слоёв равно c. Поэтому общее число кубиков и объём равны V = a · b · c, или V = abc; произведение единиц длины даёт кубическую единицу.
Составную фигуру можно мысленно разделить на несколько простых частей, объёмы которых удаётся найти. Если части не перекрываются, заполнение всей фигуры состоит из заполнения каждой части, поэтому их объёмы складывают. Разбиение удобно выбирать так, чтобы получившиеся части были прямоугольными параллелепипедами и их размеры было легко определить.
| Фигура | Размеры | Формула объёма | Единица объёма |
|---|---|---|---|
| Прямоугольный параллелепипед | Длина a, ширина b, высота c | V = abc | Кубические единицы |
| Куб | Ребро a | V = a³ | Кубические единицы |
| Объём фигуры | Зависит от выбранной единицы длины | Записывают в кубических единицах | см³, дм³, м³ и другие |
Сначала определите, к какой фигуре относится задача, и найдите её размеры. Для параллелепипеда перемножьте длину, ширину и высоту, а для куба возведите ребро в третью степень. Проверьте, что размеры выражены в одной единице, и запишите объём в кубических единицах.
Задача 1. Сколько кубиков объёмом 1 см³ помещается в коробку размером 3 см × 2 см × 2 см? Размеры уже выражены в сантиметрах, поэтому каждый кубик укладывается по целому числу раз вдоль каждого края. Посчитаем кубики сначала в одном слое, затем во всей коробке.
Ответ: в коробку помещается 12 кубиков объёмом 1 см³. Проверка формулой даёт тот же результат: V = 3 · 2 · 2 = 12 см³, то есть 12 единичных кубиков.
Задача 2. Найдём объём прямоугольного параллелепипеда длиной 8 см, шириной 5 см и высотой 3 см. Для такой фигуры известны все три размера, поэтому применим формулу V = abc. Перемножать их можно сразу, так как каждый размер дан в сантиметрах.
Ответ: объём параллелепипеда равен 120 см³. Значит, его можно заполнить 120 кубиками объёмом 1 см³.
Задача 3. Фигура составлена без перекрытия из двух прямоугольных параллелепипедов размером 4 см × 3 см × 2 см и 2 см × 3 см × 2 см. Найдём объём всей фигуры, разделив её на известные части. Так как части не перекрываются, их объёмы можно сложить.
Ответ: объём всей фигуры равен 36 см³.
Путать объём с площадью поверхности. Площадь поверхности описывает внешнюю оболочку, а объём — пространство, которое занимает фигура. Путаница возникает из-за того, что обе величины связаны с измерением фигур. Проверьте себя вопросом: нужно измерить оболочку или содержимое?
Записывать объём в квадратных единицах. Квадратные единицы относятся к площади, а произведение трёх размеров даёт кубические единицы. Ошибку легко допустить, если помнить только числа и не следить за обозначениями. Проверьте, что при размерах в сантиметрах ответ выражен в см³, а не в см².
Не переводить размеры в одну единицу. Например, нельзя без перевода перемножить 2 м, 30 см и 1 м: множители относятся к разным мерам длины. Обычно это происходит, когда единицы в условии прочитаны невнимательно. Перед вычислением перепишите все размеры в сантиметрах или все в метрах и проверьте, что они совпадают.
Складывать длину, ширину и высоту. Сумма размеров не считает кубики внутри параллелепипеда, ведь сначала нужно определить их число в слое, а потом число слоёв. Сложение кажется подходящим, когда ученик переносит действия из задач на периметр. Проверьте формулу по смыслу: три направления заполнения должны перемножаться, поэтому V = abc.
Для работы с объёмом пригодятся измерение длины и площади, знание единиц измерения и умение умножать числа. Эти навыки помогают понять, откуда берутся три множителя и почему результат записывается в кубических единицах. Перед вычислениями также важно уметь переводить длины из одной единицы в другую.
Понятие объёма будет использоваться при изучении других пространственных тел. Оно полезно и в практических задачах: например, чтобы оценить вместимость коробки или количество места, которое занимает предмет. Во всех таких задачах объём помогает описать заполненное пространство.
Почему объём измеряют кубическими единицами?
Единицей объёма служит пространство, которое занимает куб с ребром в одну единицу длины. Поэтому для объёма используют кубические единицы: например, см³ или м³.
Чем объём отличается от площади поверхности?
Объём показывает, сколько места фигура занимает внутри пространства. Площадь поверхности измеряет размер внешней оболочки фигуры.
Почему объём прямоугольного параллелепипеда находят умножением трёх размеров?
В одном слое помещается a · b кубиков, если длина и ширина заданы в единичных отрезках. Таких слоёв c, поэтому всего кубиков a · b · c, и V = abc.
Что делать, если длина, ширина и высота заданы в разных единицах?
Сначала переведите все размеры в одну и ту же единицу длины. Затем перемножьте их, а ответ запишите в соответствующей кубической единице.
Как найти объём фигуры, составленной из нескольких частей?
Разбейте фигуру на части, объёмы которых можно вычислить. Найдите объём каждой части и сложите результаты, если части не перекрываются.
11.7. Знакомство с объёмами фигур
