Раздел 4. Векторы

Определения и обозначения

Вектор — направленный отрезок, у которого отмечены начало и конец. Его обозначают одной маленькой буквой со стрелкой, например a⃗, или двумя большими буквами со стрелкой над ними: AB⃗. В отличие от обычного отрезка, вектор показывает не только расстояние между концами, но и направление от начала к концу. Это нужно, когда важно описать перемещение, а не просто измерить расстояние.

Длина вектора — длина отрезка, которым вектор изображён. Для a⃗ её записывают |a⃗|, а для AB⃗ — |AB⃗|; также говорят «модуль вектора». Длина показывает величину вектора, то есть насколько далеко направлено перемещение, но сама по себе не указывает его направление. Поэтому для полного описания вектора нужно знать и длину, и направление.

Равные векторы — векторы одинаковой длины и одинакового направления. Их начала могут находиться в разных точках: для равенства расположение на чертеже не учитывают. Например, две стрелки равной длины, направленные вправо, задают равные векторы. Это понятие позволяет переносить вектор туда, где удобно выполнять построение.

Нулевой вектор имеет длину ноль: его начало и конец совпадают, обозначают его 0⃗. Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но направлены в разные стороны; вектор, противоположный a⃗, обозначают −a⃗. Нулевой вектор не имеет определённого направления, а у противоположных ненулевых векторов направления строго противоположны. Такое различие потребуется при вычитании.

Как это устроено

Вектор задаётся длиной и направлением, потому что оба свойства влияют на результат перемещения. Если пройти три метра на восток или три метра на запад, длина пути будет одной и той же, а конечные положения окажутся разными. Место, где нарисована стрелка, для самого перемещения несущественно. Поэтому вектор можно параллельно переносить, сохраняя его длину и направление.

Чтобы сложить два вектора по правилу треугольника, конец первого совмещают с началом второго. Сумма — это стрелка от начала первого вектора к концу второго. Такой путь описывает два последовательных перемещения: сначала выполняется первое, затем второе. Именно поэтому сумма показывает общее перемещение из начальной точки в конечную.

Правило параллелограмма приводит к той же сумме, если начала векторов поместить в одну точку. Через концы векторов проводят прямые, параллельные другим сторонам, и получают параллелограмм. Его диагональ, выходящая из общего начала, совпадает с результатом сложения по правилу треугольника. Диагональ показывает общее перемещение, а стороны — два исходных перемещения.

Вычитание заменяют сложением: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗). Сначала строят вектор −b⃗, равный b⃗ по длине, но направленный в обратную сторону, а потом складывают его с a⃗ по правилу треугольника. Замена нужна потому, что вычесть перемещение — значит прибавить перемещение в обратном направлении. Менять направление уменьшаемого вектора при этом не требуется.

При умножении вектора a⃗ на число k его длина становится равной |k| · |a⃗|. Если k положительное, направление сохраняется; если отрицательное — вектор направлен противоположно исходному. Например, 2a⃗ вдвое длиннее a⃗ и смотрит в ту же сторону, а −2a⃗ вдвое длиннее и смотрит в обратную. При k = 0 получается нулевой вектор.

Основные понятия и действия с векторами

Таблица помогает выбрать нужное действие и проверить, какие свойства нужно учитывать. При сравнении векторов проверь и длину, и направление, а при построении суммы найди начальную и конечную точки результата. Знак числа при умножении подсказывает, сохранится ли направление.

Разбор задач

Задача 1. На чертеже изображены два направленных отрезка. Определите, равны ли соответствующие им векторы, и укажите их длины. Числовых данных о конкретном чертеже нет, поэтому решение состоит в последовательной проверке измерений и направлений. Положение стрелок на листе само по себе не влияет на ответ.

1. Измерьте каждый изображающий отрезок линейкой и запишите длины в одинаковых единицах. Если длины различаются, векторы не равны.
2. Если длины совпали, сравните направления стрелок: они должны идти параллельно и в одну сторону. Если одна стрелка направлена обратно, векторы не равны.
3. Запишите измеренные значения как длины соответствующих векторов, например |a⃗| и |b⃗|. Не сравнивайте только начальные точки: они могут быть разными.

Ответ: векторы равны тогда и только тогда, когда их длины и направления совпадают; длины указывают по измерению отрезков.

Задача 2. Постройте сумму a⃗ + b⃗, если конец a⃗ можно совместить с началом b⃗. Нужно определить, какой отрезок соединяет старт всей последовательности перемещений с её финишем. Для этого удобно представить, что сначала выполняют a⃗, а затем b⃗.

1. Обозначьте начало a⃗ и его конец. Проверьте, что начало b⃗ находится в конце a⃗; если нет, параллельно перенесите b⃗, не меняя его длины и направления.
2. Найдите конец перенесённого b⃗. Проведите стрелку от начала a⃗ к этому концу.
3. Проверьте порядок стрелки: она должна начинаться там, где начинался первый вектор, и заканчиваться там, где завершился второй.

Ответ: построенная стрелка от начала a⃗ к концу b⃗ — вектор a⃗ + b⃗.

Задача 3. Постройте a⃗ − b⃗ и объясните связь результата с исходными векторами. Вычитать b⃗ можно, заменив его противоположным вектором. Так построение сводится к уже знакомому сложению по правилу треугольника.

1. Постройте −b⃗: его длина равна длине b⃗, а направление противоположно. Не изменяйте при этом направление a⃗.
2. Совместите начало −b⃗ с концом a⃗, при необходимости параллельно перенеся его. Такое перенесение не меняет вектор.
3. Проведите стрелку от начала a⃗ к концу −b⃗. Получится сумма a⃗ + (−b⃗), то есть разность a⃗ − b⃗.

Ответ: a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗); результат строится от начала a⃗ до конца присоединённого −b⃗.

Типичные ошибки

Ошибка — считать векторы равными только из-за совпадения длин. Так делают, потому что длину легко измерить, а направление иногда не замечают. Проверь обе стрелки: они должны смотреть в одну сторону. Если длины одинаковы, но направления противоположны, векторы не равны.

Ошибка — требовать, чтобы равные векторы имели общее начало. На чертеже их часто рисуют рядом, поэтому может показаться, что расположение обязательно. Но вектор можно параллельно перенести без изменения длины и направления. Для проверки мысленно перенеси один вектор к другому и сравни стрелки.

Ошибка — при сложении соединять начала векторов или их концы. Это не показывает два последовательных перемещения и обычно даёт отрезок, не являющийся суммой. По правилу треугольника конец первого совмещают с началом второго. Затем проводят результат от начала первого к концу второго.

Ошибка — при вычитании разворачивать уменьшаемый вектор. Её допускают, путая, какой из векторов вычитают. В выражении a⃗ − b⃗ нужно заменить противоположным именно b⃗, а a⃗ оставить без изменения. Проверь себя записью a⃗ − b⃗ = a⃗ + (−b⃗).

Связь с другими темами

Перед изучением векторов полезно уметь измерять и сравнивать отрезки: длина вектора определяется длиной его изображения. Также нужно различать направления, в том числе противоположные, чтобы правильно сравнивать стрелки и строить −a⃗. Векторы пригодятся при изучении координат на плоскости: по координатам можно описывать направление и величину перемещения. Они также встречаются в геометрических преобразованиях и задачах, где нужно составить общее перемещение из нескольких шагов.

Что запомнить

• Вектор имеет длину и направление.
• Равные векторы имеют одинаковые длины и направления.
• Нулевой вектор имеет длину ноль.
• Противоположные векторы равны по длине и направлены противоположно.
• Сумму векторов строят по правилу треугольника или параллелограмма.
• Разность векторов равна сумме уменьшаемого вектора и вектора, противоположного вычитаемому.