12.1. Что такое параллельный перенос

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование плоскости, при котором каждая точка перемещается на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Иначе говоря, ни одна точка не получает особого способа движения: для всех действует одно правило. Это определение нужно, чтобы отличать перенос от поворота или другого перемещения, при котором точки движутся по-разному.

Вектор переноса задаёт направление и расстояние, на которые перемещается каждая точка. Его можно изобразить направленным отрезком: стрелка показывает, куда двигаться, а длина отрезка — насколько далеко. Вектор нужен, чтобы точно описать перенос и выполнять построения без путаницы с направлением.

Образ точки — точка, в которую переходит данная точка при переносе. Если точка A переходит в A′, то A′ называют образом A, а A — исходной точкой; штрих помогает различать их обозначения. Это понятие позволяет записывать результат преобразования и строить перенос для любой выбранной точки.

Образ фигуры — фигура, составленная из образов всех точек исходной фигуры. Например, у треугольника ABC образами вершин будут A′, B′ и C′, а образ треугольника обозначают A′B′C′. Понятие нужно, чтобы описать не только перемещение отдельных точек, но и результат для всей фигуры.

Как это устроено

Чтобы задать перенос, выбирают направление и расстояние перемещения. Причина в том, что правило для каждой точки должно быть одним и тем же: если изменить направление или длину шага для отдельных точек, получится уже не параллельный перенос. Удобно показать заданные данные стрелкой: она одновременно сообщает, куда и насколько перемещать точки. Нулевой перенос — частный случай, когда смещения нет и все точки остаются на месте.

Пусть точка A переходит в A′. Отрезок AA′ показывает путь и направление перехода, поэтому он параллелен выбранному направлению и равен заданному расстоянию. Если забыть, в какую сторону направлена стрелка, можно получить точку на том же расстоянии, но не образ A. Значит, при построении учитывают не только длину отрезка, но и направление движения.

Если перенос задан отрезком AA′, образ точки X строят так, чтобы отрезок XX′ был параллелен AA′, равен ему и направлен так же. Это правило следует из общего условия: каждая точка получает одинаковое смещение. Через X проводят прямую, параллельную AA′, а затем откладывают на ней нужный отрезок в нужную сторону. Так получают X′, не меняя выбранный перенос для других точек.

Образ фигуры получают, перенося каждую её точку. У многоугольника форма задаётся вершинами и порядком их соединения, поэтому для построения достаточно найти образы вершин. Затем их соединяют в том же порядке, что и исходные вершины: например, A′ с B′, B′ с C′ и так далее. Соединение образов сохраняет стороны и углы исходной фигуры, поскольку весь многоугольник смещается по одному правилу.

При переносе сохраняется расстояние между любыми двумя точками: обе точки получают одинаковое смещение, поэтому промежуток между ними не растягивается и не сжимается. Отсюда следует, что образ отрезка равен исходному отрезку, а многоугольник сохраняет форму и размеры. Например, расстояния между образами A′ и B′ столько же, сколько между A и B. Перенос меняет расположение фигуры на плоскости, но не её геометрические свойства.

Как задаётся параллельный перенос и что происходит с фигурами

В таблице собраны правила задания переноса и построения его образов. В третьем столбце указано, что остаётся неизменным после преобразования.

Если строишь фигуру, сначала найди направление и длину смещения, а затем используй их для каждой вершины. Для проверки сравни исходные отрезки с их образами и убедись, что точки перенесены одинаково. Таблица помогает не смешивать правило построения с теми свойствами, которые оно сохраняет.

Разбор задач

Задача 1. Точка A при переносе переходит в A′. Постройте образ точки B. Направление и длина переноса уже известны по отрезку AA′, поэтому нужно применить это же смещение к точке B. Нельзя откладывать такой же отрезок в произвольную сторону: направление должно совпасть с AA′.

1. Через B проведи прямую, параллельную AA′. Так направление будущего отрезка BB′ будет правильным.
2. На этой прямой отложи от B отрезок, равный AA′, направляя его так же, как от A к A′.
3. Обозначь конец отложенного отрезка буквой B′ и проверь равенство и направление BB′ и AA′.

Ответ: искомая точка B′ находится на параллели через B, на расстоянии AA′ и в том же направлении. Такая проверка подтверждает, что к обеим точкам применено одно правило переноса.

Задача 2. Постройте образ треугольника ABC при переносе, заданном отрезком PP′. Отрезок PP′ задаёт общее смещение, поэтому переносить вершины нужно одинаково. Если построить образ только одной вершины, положение остальных вершин ещё не будет определено.

1. Через A проведи прямую, параллельную PP′, и отложи отрезок AA′, равный PP′ и направленный так же.
2. Повтори построение для B и C, получив BB′ и CC′ с теми же длиной и направлением.
3. Соедини A′, B′ и C′ в прежнем порядке: A′B′, B′C′, C′A′.

Ответ: треугольник A′B′C′ — образ треугольника ABC. Его вершины смещены одним и тем же образом, поэтому стороны и углы не меняются.

Задача 3. При переносе A переходит в A′, а B — в B′. Определите, может ли это быть один и тот же перенос, и обоснуйте ответ. Для одного переноса обе точки должны получать совершенно одинаковое смещение. Поэтому сравнивать нужно не только длины отрезков AA′ и BB′, но и их направления.

1. Проверь, параллельны ли прямые AA′ и BB′. Если нет, общий перенос невозможен.
2. Сравни длины отрезков. Если они не равны, общего переноса также нет.
3. Убедись, что стрелки от A к A′ и от B к B′ направлены одинаково, а не в противоположные стороны.

Ответ: точки соответствуют одному параллельному переносу только тогда, когда AA′ и BB′ параллельны, равны и одинаково направлены. Если хотя бы одно условие нарушено, это не один и тот же перенос.

Типичные ошибки

Ошибка — считать параллельным переносом любое перемещение фигуры. Её допускают, потому что в обычной речи переносом называют почти любое изменение положения, но в геометрии действует точное правило: смещение всех точек одинаково. Для проверки проследи, куда и насколько переместились разные точки фигуры. Если фигура повернулась или разные точки сместились по-разному, это не параллельный перенос.

Ошибка — сравнить только длины AA′ и BB′ и на этом закончить проверку. Равные длины не означают, что отрезки параллельны или что стрелки направлены одинаково: например, точки могут смещаться в противоположные стороны. Причина ошибки — внимание только к расстоянию без учёта направления. Проверь сразу три условия: параллельность, равенство длин и одинаковое направление.

Ошибка — отложить образный отрезок в противоположную сторону. Так может получиться отрезок той же длины, однако его конец окажется не образом точки при заданном переносе. Это случается, когда ученик замечает длину стрелки, но не смотрит, куда она указывает. Перед построением сравни начало и конец исходной стрелки, а после — направление от исходной точки к её образу.

Ошибка — построить образ фигуры по одной вершине и соединить её образ с исходными вершинами. В этом случае переносится только одна точка, а остальные остаются на месте, поэтому правило перестаёт быть общим для фигуры. Такая ошибка возникает из-за попытки сократить построение. Найди образ каждой вершины и соединяй только полученные образы в том же порядке.

Связь с другими темами

Для построения переноса полезны умения проводить параллельные прямые, откладывать равные отрезки и различать направления на прямой. Без них трудно точно построить образ точки и проверить его. Параллельный перенос связан с равенством фигур: он сохраняет форму и размеры, хотя меняет расположение. Позже это преобразование пригодится при изучении движений плоскости и построении образов геометрических фигур.

Что запомнить

• При параллельном переносе все точки смещаются одинаково.
• Перенос задают направлением и расстоянием.
• Отрезки, соединяющие точки с их образами, параллельны, равны и одинаково направлены.
• Чтобы построить образ многоугольника, перенеси каждую его вершину.
• Параллельный перенос сохраняет форму и размеры фигуры.