12.2. Свойства параллельного переноса

Определения и обозначения

Параллельный перенос — преобразование, при котором каждая точка фигуры перемещается на один и тот же вектор. Иными словами, точки не двигаются каждая по своему маршруту: направление и длина перемещения у них общие. Это определение помогает отличить перенос от поворота или изменения формы. В геометрических задачах перенос обычно задают вектором или его координатами.

Вектор переноса — направленный отрезок, задающий направление и величину перемещения всех точек. У такого отрезка важны не только концы, но и то, куда он направлен. Например, вектор (3; −2) означает смещение на 3 единицы вправо и на 2 единицы вниз. По вектору можно одинаково переместить любую точку фигуры.

Образ точки — точка, в которую переходит исходная точка при параллельном переносе. Исходную точку обычно обозначают A, а её образ — A′; штрих показывает, что это новая точка. Так удобно следить за соответствиями между точками до и после переноса. Например, образами вершин A, B, C будут A′, B′, C′.

Образ фигуры — фигура, состоящая из образов всех точек исходной фигуры. Для многоугольника достаточно построить образы его вершин и соединить их в прежнем порядке. Это определение позволяет описать результат переноса целой фигуры, а не только одной точки. Образ сохраняет форму и размеры исходной фигуры.

Как это устроено

Чтобы построить образ точки, приложи начало вектора переноса к исходной точке, а затем отложи такой же направленный отрезок. Его длину и направление нельзя менять: иначе получится уже другое перемещение. Конец отложенного отрезка и будет образом точки. Если вектор задан координатами, этот же шаг выполняют по клеткам или вычисляют координаты образа.

Отрезки, соединяющие точки и их образы, равны и параллельны, потому что каждый из них задаёт один и тот же вектор переноса. Например, если A переходит в A′, а B — в B′, то AA′ и BB′ имеют одинаковую длину и одно направление. Поэтому в четырёхугольнике AA′B′B противоположные стороны равны и параллельны, и такой четырёхугольник является параллелограммом. Это свойство помогает проверять правильность построения.

Расстояние между двумя точками при переносе сохраняется, так как обе точки смещаются одинаково. В координатах к каждой из них прибавляются одни и те же числа, поэтому разности соответствующих координат остаются прежними. А расстояние между точками зависит именно от этих разностей. Следовательно, отрезок и его образ имеют одинаковую длину.

Угол сохраняется потому, что его стороны переходят в параллельные им лучи с теми же направлениями; перенос не поворачивает фигуру. По той же причине параллельные прямые остаются параллельными: каждая из них сдвигается одинаковым вектором, а их направления не меняются. Длины сторон и углы не изменяются, поэтому сохраняется форма фигуры. Все соответствующие стороны и углы равны, значит фигура и её образ равны.

Прямая обычно переходит в другую прямую, параллельную исходной: любой отрезок на ней переносится в отрезок того же направления, а точки образа лежат на одной прямой. Если вектор переноса направлен вдоль исходной прямой, точки сдвигаются по самой этой прямой, и она переходит в себя. Поэтому не всякая прямая остаётся на прежнем месте. При построении полезно проверить, параллельна ли прямая вектору переноса.

Свойства параллельного переноса

Таблица показывает, какие объекты рассматривают и что с ними происходит при переносе. Пользуйся ею, чтобы выбрать нужное свойство для доказательства: например, сохранение длины или параллельности. В последнем столбце указана причина или результат, который можно использовать в задаче.

Разбор задач

Задача 1. Точку A(−2; 3) перенесли на вектор (5; −1). Найдите координаты её образа A′. Сначала определим, как вектор меняет координаты: первое число задаёт сдвиг по горизонтали, второе — по вертикали. Затем прибавим эти значения к координатам точки.

1. Координата x образа равна −2 + 5 = 3. Прибавляем 5, потому что первая координата вектора показывает смещение по оси x.

2. Координата y образа равна 3 + (−1) = 2. Отрицательная координата вектора означает движение вниз, поэтому единицу вычитаем.

3. Записываем обе найденные координаты вместе. Проверка: точка сместилась на 5 вправо и на 1 вниз.

Ответ: A′(3; 2).

Задача 2. Дан треугольник ABC и вектор переноса. Постройте его образ A′B′C′ и докажите, что треугольники ABC и A′B′C′ равны. Поскольку перенос действует на каждую точку одинаково, достаточно построить образы трёх вершин. Для доказательства сравним стороны исходного треугольника и полученного.

1. Отложи от A, B и C направленные отрезки, равные вектору переноса. Их концы обозначь A′, B′ и C′.

2. Соедини A′, B′ и C′ в том же порядке, что и исходные вершины. Так получится образ треугольника, а не другой многоугольник.

3. Каждая сторона переходит в равный ей отрезок: AB = A′B′, BC = B′C′, AC = A′C′. Значит, все соответствующие стороны равны и треугольники равны.

Ответ: образ — треугольник A′B′C′; он равен треугольнику ABC.

Задача 3. Точка A′(4; −2) является образом точки A при переносе на вектор (7; −5). Найдите координаты A и образ точки B(−1; 6) при том же переносе. Сначала восстановим исходную точку: для этого нужно отменить перенос, то есть вычесть его координаты. Затем применим исходный вектор к точке B.

1. Для точки A имеем A′ = A + (7; −5). Поэтому координата x точки A равна 4 − 7 = −3, а координата y равна −2 − (−5) = 3.

2. Проверим обратное действие: (−3 + 7; 3 − 5) = (4; −2). Получились координаты A′ из условия.

3. Для образа точки B прибавим вектор: x = −1 + 7 = 6, y = 6 + (−5) = 1.

Ответ: A(−3; 3), B′(6; 1).

Типичные ошибки

Первая ошибка — откладывать от разных точек разные векторы. Так бывает, если строящий ориентируется на свободное место на чертеже, а не на заданное направление и длину. Тогда фигура может исказиться, и построение уже не будет параллельным переносом. Проверь, что все отрезки от каждой исходной точки к её образу равны и направлены одинаково.

Вторая ошибка — менять только одну координату или неверно учитывать знак координаты вектора. Часто это происходит, когда забывают, что вектор задаёт смещение сразу по двум осям. Записывай отдельно вычисления для x и y, сохраняя знаки: например, прибавление −3 равносильно вычитанию 3. Проверить результат можно, мысленно проследив движение по горизонтали и вертикали.

Третья ошибка — считать, что любая прямая переходит в себя. Это неверно: обычно она перемещается на параллельную прямую, а прежнее место сохраняется только при направлении переноса вдоль прямой. Ошибку допускают, потому что прямая бесконечна и на рисунке не всегда заметно её смещение. Проверь, параллелен ли вектор переноса этой прямой.

Четвёртая ошибка — путать образ точки с исходной или соединять вершины в неправильном порядке. Например, если вместо A′B′C′ соединить A′, C′, B′, получится другой обход границы фигуры. Такое случается, когда штрих в обозначении пропускают или не сохраняют соответствие вершин. Подписывай каждую точку сразу после построения и соединяй образы в исходной последовательности.

Связь с другими темами

Для изучения переноса нужно знать, что такое вектор, как сравнивать направленные отрезки и как находить координаты точек. При построениях также пригодится умение строить параллелограмм: отрезки, соединяющие точки с их образами, дают наглядную проверку переноса. Эти знания помогают перейти от рисунка к координатному способу решения.

Свойства переноса опираются на знания о параллельных прямых, равенстве отрезков и равенстве фигур. Именно сохранение длин позволяет доказывать равенство фигур, а сохранение направлений объясняет параллельность. Поэтому параллельный перенос связывает построения с геометрическими доказательствами.

Позже перенос пригодится при изучении движений и симметрий, где фигуры преобразуются без изменения размеров. Координатный метод позволяет выполнять такие преобразования вычислениями, а не только чертежом. Идея одинакового смещения также полезна при построении изображений и узоров.

Что запомнить

• При параллельном переносе все точки перемещаются на один и тот же вектор.
• Образ точки получают откладыванием вектора переноса от исходной точки.
• Параллельный перенос сохраняет расстояния и длины отрезков.
• Параллельный перенос сохраняет углы, параллельность и форму фигур.
• Прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя.
• Фигура и её образ равны.
• В координатах к каждой точке прибавляют координаты вектора переноса.