"Геометрия", Козлова С.А., Рубин А.Г., Гусев В.А.
Орнамент — это узор из повторяющихся элементов, а бордюр — его особый вид, продолжающийся вдоль полосы. Паркет устроен иначе: одинаковые или подходящие друг к другу фигуры покрывают всю плоскость, не оставляя пустот и не накладываясь друг на друга. Чтобы строить такие узоры, нужно находить повторяемую фигуру и следить, как её копии расположены. Их можно получать перемещением, поворотом или отражением, сохраняя форму и размеры исходного элемента.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Орнамент — это узор, в котором повторяются фигуры или их группы. Повтор помогает связать отдельные изображения в цельную композицию, а порядок их расположения задаёт её вид. Если менять положение копий, но сохранять сам элемент, получится другой узор. Поэтому при описании орнамента важно замечать и повторяемую часть, и способ её расположения.
Бордюр — орнамент, который повторяется вдоль полосы. Его элементы продолжают узор в одном направлении, поэтому полоса может казаться длиннее отдельного фрагмента. Бордюр можно увидеть, например, в узоре, идущем по краю стены или ткани. Чтобы отличить его от других узоров, нужно проверить, тянется ли повтор именно вдоль полосы.
Паркет — способ заполнить плоскость одинаковыми или подходящими друг к другу фигурами так, чтобы между ними не было промежутков и наложений. Каждая фигура занимает часть плоскости, а вместе они покрывают её целиком. Это определение помогает проверить, подходит ли набор плиток для замощения. Если остались пустые места или фигуры перекрыли друг друга, паркета не получилось.
Элемент орнамента — фигура или группа фигур, повторением которых образован узор. Например, если в узоре несколько раз встречается одна и та же звезда, она может быть его элементом. Иногда повторяется не одна фигура, а целая комбинация, и тогда элементом будет группа. Найдя его, легче понять, каким образом построен узор и как продолжить его дальше.
Чтобы получить орнамент, сначала выбирают фигуру или группу фигур, а затем повторяют её в выбранном порядке. Копии могут располагаться рядом, на расстоянии или менять направление, поэтому один элемент способен дать разные узоры. Например, ряд одинаковых треугольников можно продолжить простым сдвигом, а можно чередовать их с повёрнутыми копиями. Способ расположения важен, потому что именно он превращает набор фигур в определённый рисунок.
Бордюр продолжается вдоль прямой полосы, потому что его повторяемые части последовательно располагаются в одном направлении. Если взять один фрагмент и сдвигать его на одинаковое расстояние вдоль полосы, получится продолжение узора. Орнамент в целом не обязан иметь такое устройство: он может находиться вокруг точки или занимать ограниченную область. Поэтому одного повторения недостаточно, чтобы назвать узор бордюром: нужно учитывать, где и в каком направлении он повторяется.
Для паркета нужно подобрать фигуры, которые могут состыковаться по сторонам и около общих вершин. Если при укладке остаётся щель, следующими плитками её не всегда удастся закрыть, не создав нового промежутка или наложения. Например, квадраты одинакового размера можно уложить рядами: их стороны совпадают, а углы сходятся без пустот. Для других многоугольников такой результат нужно проверять, а не предполагать только по одинаковому размеру.
Повторяющиеся копии можно получать движениями плоскости. При перемещении фигуру сдвигают, при повороте меняют её направление вокруг выбранной точки, а при отражении получают её зеркальное изображение относительно прямой. Например, отражённые треугольники могут сложиться в узор, который не получается простым сдвигом. Во всех случаях форма и размеры элемента остаются прежними, поэтому повторение можно сравнивать по исходной фигуре.
Бордюр и паркет различаются не тем, есть ли в них повторы: повторы есть в обоих случаях. В бордюре элементы продолжаются вдоль полосы, а паркетными фигурами покрывают плоскость. Если повторить узор только в одном направлении, он сам по себе не заполнит пространство вокруг полосы. Это различие помогает выбрать способ построения: продолжать ряд или укладывать фигуры в нескольких направлениях.
| Что сравниваем | Орнамент | Бордюр | Паркет |
|---|---|---|---|
| Как устроен узор | Фигуры или группы фигур образуют повторяющийся узор. | Повторяющийся узор вытянут вдоль полосы. | Фигуры уложены так, чтобы покрыть плоскость. |
| Где и в каких направлениях повторяются элементы | Расположение может быть разным; орнамент не обязан заполнять плоскость. | Элементы повторяются вдоль полосы, в одном основном направлении. | Фигуры размещаются по плоскости, обычно в нескольких направлениях. |
| Какую роль играют перемещения, повороты и отражения | Они задают положение и направление копий. | С их помощью продолжают узор вдоль полосы. | Они помогают подбирать расположение и стыковку плиток. |
| Есть ли промежутки и наложения между фигурами | Это зависит от вида орнамента. | Полоса не обязательно покрывает всю плоскость. | Промежутков и наложений быть не должно. |
Пользуйся таблицей, чтобы сначала определить, где располагаются повторяющиеся элементы, а затем выяснить, как устроено всё покрытие. Если узор идёт вдоль полосы, это бордюр; если фигуры заполняют плоскость, это паркет. Орнамент — более широкое понятие, поэтому он может быть устроен по-разному.
Задача 1. Рассмотрите несколько изображённых узоров и определите, какой из них является бордюром. Нужно не просто найти повтор, а понять, продолжается ли он вдоль полосы. Сравните расположение элементов в каждом узоре. Затем проверьте, можно ли мысленно продолжить узор в одном направлении.
Ответ: бордюром является узор, который повторяется вдоль полосы. Если в выбранных изображениях такого узора нет, ни один из них не подходит. Главная проверка — направление продолжения, а не само наличие похожих фигур.
Задача 2. Изобразите бордюр, повторив заданную фигуру вдоль прямой полосы. Копии нужно расположить так, чтобы узор выглядел непрерывным. При этом не следует растягивать или менять исходную фигуру. Сначала решите, на какое расстояние нужно сдвигать её каждый раз.
Ответ: получен бордюр из равных копий заданной фигуры. Если между соседними элементами есть промежуток, он допустим для узора, но может нарушить требование непрерывного рисунка. Форма и размеры самой копии при построении не меняются.
Задача 3. Определите, можно ли замостить плоскость заданными многоугольниками без промежутков и наложений, и выполните эскиз паркета. Нужно проверить не только отдельную пару плиток, но и то, как повторится их укладка. Удобно начать с общей стороны или вершины. Затем проследить, сможет ли узор продолжаться.
Ответ: фигуры можно использовать для паркета, если их повторение покрывает плоскость без пустот и перекрытий; эскиз должен показывать стыковку в обоих направлениях. Если условия не выполняются, нужно изменить расположение или сделать вывод, что выбранный способ укладки не подходит. Проверка общей вершины особенно полезна, потому что там часто обнаруживаются незаполненные углы.
Ошибка: считать любой повторяющийся узор бордюром. Её допускают, потому что обращают внимание на повтор, но не проверяют направление и область узора. Проверь себя: элементы должны продолжаться вдоль полосы, а не только повторяться вокруг точки или внутри рисунка. Если узор не вытянут вдоль полосы, его нельзя называть бордюром только из-за повторов.
Ошибка: называть паркетом рисунок с промежутками или наложениями. Иногда отдельные плитки выглядят подходящими, и проверку покрытия пропускают. Проверь эскиз целиком: плоскость должна быть заполнена, а каждая её точка — принадлежать покрытию без двойного наложения фигур. Щель или перекрытая часть показывает, что условие паркета не выполнено.
Ошибка: менять размер или форму копии при построении бордюра. Это может казаться удобным способом заполнить полосу, но тогда элементы уже не являются копиями исходной фигуры. Проверь каждую фигуру сравнением с первой: перемещение, поворот и отражение сохраняют размеры и форму. Если элемент растянулся или стал другим, повтор выполнен неверно.
Ошибка: путать повторение в одном направлении с заполнением плоскости. Бордюр может выглядеть длинным и непрерывным, но он покрывает только полосу, а не пространство вокруг неё. Проверь, куда продолжается узор: ряд вдоль полосы — это бордюр, а расположение фигур по всей плоскости без щелей — паркет. Для замощения одного ряда недостаточно.
Для работы с узорами нужно распознавать фигуры, сравнивать их форму и размеры, а также выполнять простые перемещения и отражения. Эти навыки помогают понять, какие части узора совпадают и как продолжить повтор. Тема связана с изучением симметрии и движений плоскости: поворот и отражение меняют положение фигуры, не меняя её размеров. Построение паркета также готовит к задачам на разбиение и заполнение фигур.
Чем бордюр отличается от обычного орнамента?
Орнамент — общее название узора, в котором элементы повторяются. Бордюр — узор, у которого повторение идёт вдоль полосы, в одном основном направлении.
Какие преобразования можно использовать, чтобы повторить элемент узора?
Элемент можно переместить, повернуть или отразить. При каждом таком преобразовании его форма и размеры сохраняются.
Почему между плитками паркета не должно быть промежутков?
Паркет должен покрывать всю плоскость, поэтому пустые участки означают, что покрытие неполное. Наложение тоже недопустимо: тогда части фигур занимали бы одно и то же место.
Можно ли замостить плоскость любыми одинаковыми фигурами?
Нет: одинаковый размер сам по себе не гарантирует, что фигуры состыкуются без щелей и наложений. Нужно проверить, как их стороны и углы сходятся при укладке.
Чем повторение в бордюре отличается от повторения в паркете?
В бордюре копии продолжаются вдоль полосы, то есть преимущественно в одном направлении. В паркете фигуры располагаются так, чтобы покрыть всю плоскость.
12.3. Орнаменты, бордюры, паркеты
