13.1. Что такое вектор

Определения и обозначения

Направленный отрезок — это отрезок, у которого указаны начало и конец. Его можно представить как путь от одной точки к другой: отрезок задаёт длину пути, а выбранный порядок точек — его направление. Это понятие нужно, чтобы отличать просто отрезок от отрезка, который куда-то направлен.

Вектор — направленный отрезок. Его обозначают двумя буквами со стрелкой сверху, например вектор AB, или одной строчной буквой, например вектор a. Такое обозначение помогает кратко записывать и сравнивать направленные отрезки, не описывая каждый раз их положение словами.

Начало вектора — точка, откуда он направлен, а конец — точка, куда он направлен. В записи вектора AB первая буква A обозначает начало, а вторая B — конец; стрелка над буквами относится ко всей записи. По этому порядку можно восстановить направление вектора.

Нулевой вектор — вектор, начало и конец которого совпадают. Например, если он начинается в точке M, то и заканчивается в M. Это определение позволяет говорить о векторе даже тогда, когда перемещения из одной точки в другую не произошло.

Как это устроено

Обычный отрезок сообщает, сколько составляет расстояние между двумя точками, но не указывает, в какую сторону нужно двигаться. Если на чертеже соединить A и B, отрезок AB сам по себе можно пройти и от A к B, и от B к A. Поэтому для вектора к длине добавляют направление: без него описание было бы неполным.

В записи вектора AB буквы стоят в том порядке, в котором направлен отрезок: сначала его начало A, затем конец B. Стрелка сверху показывает, что перед нами именно направленный отрезок. Если поменять буквы местами, получится вектор BA, направленный обратно; значит, порядок букв нельзя выбирать произвольно.

На чертеже вектор изображают отрезком со стрелкой у конца. Стрелка показывает, куда направлен вектор, а точка у её основания является началом. Обычный отрезок рисуют без такой стрелки: он показывает только соединение точек и длину между ними. Поэтому, читая чертёж, сначала найди стрелку, а затем проследи направление от её основания к наконечнику.

У нулевого вектора начало и конец — одна и та же точка. Расстояние между совпадающими точками равно нулю, поэтому длина такого вектора равна нулю. Направление задаётся переходом от начала к концу, но здесь переходить некуда: точки не различаются, и направление не задаётся.

Два вектора равны, если у них одинаковые длины и одинаковые направления. Это два отдельных условия: совпадения длины недостаточно, потому что векторы могут быть направлены в разные стороны. При этом векторы не обязаны лежать на одном месте: их можно сдвинуть по плоскости, не изменив длину и направление. Поэтому сравнивай свойства векторов, а не то, где они нарисованы.

Основные понятия о векторе

Таблица помогает быстро различить понятия и проверить, как они записываются. Если нужно определить вектор по чертежу, найди стрелку и установи начало и конец. Если нужно сравнить два вектора, проверь отдельно их длины и направления.

Разбор задач

Задача 1. На чертеже отмечены точки A и B. Запишите вектор, направленный от A к B, и укажите его начало и конец. Здесь важно сначала прочитать направление словами, а потом перенести его в порядок букв. Первая буква должна обозначать точку, откуда начинается движение.

1. Определяем, откуда направлен вектор: по условию он начинается в A.
2. Устанавливаем, куда он направлен: его конец находится в B.
3. Записываем точки в том же порядке и ставим стрелку над буквами: вектор AB.

Ответ: вектор AB; начало — точка A, конец — точка B. Если записать BA, направление будет обратным, поэтому это уже другой вектор. Проверка проста: первая буква в записи должна совпадать с началом, указанным в условии.

Задача 2. Изобразите нулевой вектор с началом в точке M и объясните, где находится его конец. По определению у нулевого вектора начало и конец совпадают. Поэтому нельзя выбирать для конца другую точку, даже если на рисунке хочется провести отрезок ненулевой длины.

1. Отмечаем точку M как начало вектора.
2. Так как вектор нулевой, его конец также помещаем в M.
3. Указываем, что длина равна нулю, поскольку расстояние от M до самой себя равно нулю.

Ответ: конец нулевого вектора находится в точке M. На чертеже начало и конец совпадают, поэтому обычного отрезка ненулевой длины не получится. Направление такого вектора не задаётся: он не ведёт из M в другую точку.

Задача 3. На рисунке изображены два вектора в разных местах плоскости. Их длины одинаковы, но направления различаются. Нужно определить, равны ли они, и объяснить вывод, не отвлекаясь на то, что векторы нарисованы в разных местах.

1. Проверяем первое условие равенства: длины совпадают, значит, оно выполнено.
2. Сравниваем направления: по условию они различаются, следовательно, второе условие не выполнено.
3. Делаем вывод: для равенства нужны одновременно одинаковые длины и одинаковые направления.

Ответ: векторы не равны. Одинаковая длина сама по себе не гарантирует равенство: один вектор может быть направлен, например, вправо, а другой — влево. Разное расположение на чертеже не мешало бы равенству, если бы длины и направления совпадали.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать вектор просто отрезком. Так часто думают, потому что на рисунке оба объекта выглядят как линия между точками, но у вектора есть ещё и направление. Проверь себя: если на чертеже или в записи направление не указано, не приписывай его отрезку автоматически.

Вторая ошибка — переставлять буквы в записи вектора. Можно решить, что AB и BA отличаются только порядком обозначений, однако первая запись направлена от A к B, а вторая — от B к A. Чтобы проверить себя, прочитай каждую запись вслух: «из первой точки во вторую».

Третья ошибка — объявлять равными любые векторы одинаковой длины. Длину легко сравнить по чертежу, поэтому о направлении иногда забывают. Перед выводом проверь оба условия: длины должны совпадать, и направления тоже должны быть одинаковыми.

Четвёртая ошибка — задавать нулевому вектору определённое направление. Его могут нарисовать как маленькую стрелку и решить, что она показывает направление, но у нулевого вектора начало и конец совпадают. Проверь, есть ли переход от одной точки к другой: если обе точки совпадают, направление не задаётся.

Связь с другими темами

Для работы с векторами пригодятся знакомые действия: обозначение точек и отрезков, определение длины отрезка и чтение геометрического чертежа. Эти знания помогают найти начало и конец вектора и понять, какую длину нужно сравнивать. Если уверенно читать обозначения, легче не перепутать направления AB и BA.

Векторы станут основой для изучения действий с векторами и координатного метода в геометрии. При работе с ними нужно будет сохранять внимание к длине и направлению, а координаты позволят описывать положение точек числами. Поэтому понятие вектора связывает геометрические рисунки с более точными способами вычислений.

Что запомнить

• Вектор — направленный отрезок.
• Вектор AB начинается в точке A и заканчивается в точке B.
• Направление — обязательная часть вектора.
• Нулевой вектор имеет совпадающие начало и конец.
• Равные векторы имеют одинаковые длины и направления.
• Место расположения равных векторов на плоскости может быть разным.