13.2. Коллинеарные и компланарные векторы

Определения и обозначения

Коллинеарные векторы — это векторы, направляющие прямые которых параллельны или совпадают. Иначе говоря, стрелки можно расположить вдоль одной прямой или вдоль параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Это понятие помогает сначала выяснить, можно ли вообще сравнивать направления двух векторов.

Сонаправленные векторы — это коллинеарные ненулевые векторы, направленные в одну сторону. Их стрелки могут находиться на разных параллельных прямых, но указывают в одну сторону. Такое название позволяет отличить совпадающее направление от просто параллельного расположения прямых. Нулевой вектор сонаправленным не называют: у него нет направления.

Противоположно направленные векторы — это коллинеарные ненулевые векторы, направленные в разные стороны. Если совместить их направляющие прямые, стрелки будут указывать навстречу друг другу или в противоположные стороны. Этот признак нужен, чтобы различать два возможных направления вдоль одной прямой. Для нулевого вектора такое сравнение также невозможно.

Компланарные векторы — это векторы, представителей которых можно расположить в одной плоскости. Если векторы имеют общее начало, они компланарны, когда их концы вместе с началом лежат в одной плоскости. Поэтому в пространстве удобно проверять не исходное положение стрелок, а расположение точек. Понятие помогает понять, помещаются ли векторы в одну плоскость.

Как это устроено

Направление вектора задаётся прямой, на которой он расположен, и тем, в какую сторону указывает его стрелка. Но прямые могут быть непараллельны, и тогда нельзя сказать, что векторы направлены одинаково или противоположно. Поэтому сначала проверяют коллинеарность: направляющие прямые должны совпадать или быть параллельными. Только после этого сравнивают стороны, в которые указывают стрелки.

На рисунке с одной прямой удобно мысленно провести через каждую стрелку её направляющую. Если стрелки показывают в одну сторону вдоль этой прямой, векторы сонаправлены; если одна показывает в одну сторону, а другая — в противоположную, они противоположно направлены. При параллельных, но не совпадающих прямых проверка такая же: сравнивают, куда указывают стрелки относительно параллельных линий. Сам факт параллельности прямых ещё не говорит, совпадают ли направления векторов.

Вектор можно параллельно перенести: передвинуть его так, чтобы длина и направление стрелки остались прежними. Такой перенос нужен, потому что представители одного вектора могут изначально находиться в разных местах. Разместив их удобным образом, легче сопоставить направления или увидеть общую плоскость. Перенос не превращает один вектор в другой произвольный: его длина и направление сохраняются.

Рассмотрим три вектора с общим началом O и концами A, B, C. Они компланарны, если точки O, A, B и C можно поместить в одну плоскость. Если векторы OA и OB неколлинеарны, их прямые вместе с точкой O задают плоскость. Тогда остаётся проверить, лежит ли точка C в этой плоскости: если лежит, все три вектора компланарны, а если нет — некомпланарны.

Коллинеарность и компланарность отвечают на разные вопросы. При коллинеарности направляющие прямые должны совпадать или быть параллельными, а при компланарности достаточно, чтобы представители помещались в одной плоскости. Коллинеарные векторы всегда можно расположить в одной плоскости, поэтому они компланарны. Обратное неверно: две стрелки в одной плоскости могут идти по разным, непараллельным прямым.

Как различать векторы по расположению и направлению

Пользуйтесь таблицей в таком порядке: сначала определите, совпадают или параллельны ли направляющие прямые, затем сравните направления стрелок. Чтобы проверить компланарность, смотрите на возможность расположить представителей в одной плоскости. Особый случай нулевого вектора учитывайте отдельно: он коллинеарен любому вектору, но направление ему не приписывают.

Разбор задач

Задача 1. На одной прямой даны три вектора: первый направлен вправо, второй — влево, третий — вправо. Определите, какие векторы сонаправлены, а какие противоположно направлены. Важно не просто увидеть одну прямую, а сравнить стороны, куда указывают стрелки. Для этого сначала устанавливаем коллинеарность всех трёх векторов.

1. Все векторы лежат на одной прямой, значит, они коллинеарны. Каждый из них ненулевой, поэтому направления можно сравнивать.
2. Первый и третий векторы направлены вправо, следовательно, они сонаправлены. Второй направлен влево, то есть в сторону, противоположную первому и третьему.
3. Сравниваем попарно: первый со вторым и третий со вторым — противоположно направленные пары. Первый и третий образуют сонаправленную пару.

Ответ: первый и третий векторы сонаправлены; второй противоположно направлен каждому из них.

Задача 2. Точки A, B и C лежат в одной плоскости. Объясните, почему векторы AB и AC компланарны, и укажите условие, при котором они будут коллинеарны. Здесь удобно оставить обе стрелки с общим началом A. Затем нужно различить условие «в одной плоскости» и условие «на одной прямой или параллельных прямых».

1. Представители AB и AC уже имеют общее начало A, а их концы B и C лежат с ним в одной плоскости. Значит, векторы компланарны.
2. Чтобы векторы были коллинеарны, направляющие прямые AB и AC должны совпадать или быть параллельными. Поскольку обе прямые проходят через A, они совпадают, если точки A, B и C лежат на одной прямой.
3. Если точки не лежат на одной прямой, векторы всё равно компланарны, но не коллинеарны. Так видно, что одного условия общей плоскости для коллинеарности недостаточно.

Ответ: AB и AC компланарны, поскольку точки A, B и C лежат в одной плоскости. Они коллинеарны, если точки A, B и C лежат на одной прямой.

Задача 3. В пространстве даны три вектора с общим началом O и концами A, B, C. По рисунку нужно определить, компланарны ли они, и обосновать ответ. Допустим, OA и OB неколлинеарны, а точка C не лежит в плоскости, проходящей через O, A и B. Проверим расположение всех четырёх точек.

1. Ненулевые неколлинеарные векторы OA и OB задают плоскость, в которой лежат точки O, A и B. Поэтому эта плоскость служит для проверки третьего вектора.
2. Смотрим, принадлежит ли ей точка C. По условию она не лежит в плоскости OAB, следовательно, четыре точки O, A, B и C не являются компланарными.
3. Значит, нельзя расположить все три заданных представителя в этой общей плоскости с началом O. Следовательно, векторы некомпланарны.

Ответ: векторы не компланарны, так как точка C не лежит в плоскости, заданной точками O, A и B.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любые векторы на параллельных прямых сонаправленными. Параллельные прямые могут не только поддерживать одинаковое направление, но и давать стрелки, указывающие в разные стороны; эту ошибку допускают, обращая внимание только на положение прямых. Проверьте стороны стрелок относительно параллельных линий: совпадают — векторы сонаправлены, различаются — противоположно направлены.

Ошибка: называть любые компланарные векторы коллинеарными. Компланарность говорит об общей плоскости, а коллинеарность требует совпадающих или параллельных направляющих прямых; понятия легко спутать, потому что оба описывают расположение. Проверьте направляющие прямые: если они непараллельны, векторы не коллинеарны, даже когда лежат в одной плоскости.

Ошибка: думать, что представители векторов обязаны изначально иметь общее начало. Так кажется, если забыть, что вектор можно параллельно перенести, сохранив длину и направление. Проверьте, требуется ли сравнить сами векторы или только их исходное расположение: для сравнения можно перенести стрелки в удобное место.

Ошибка: забывать, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Его направление не видно, поэтому его иногда ошибочно исключают и из коллинеарных векторов. Проверьте отдельно, не является ли один из векторов нулевым: он считается коллинеарным, но его нельзя назвать сонаправленным или противоположно направленным.

Связь с другими темами

Чтобы разобраться в теме, нужно знать, что такое вектор, его начало, конец и направленный отрезок. Также понадобятся свойства параллельных прямых и плоскостей и умение определять взаимное расположение точек и прямых в пространстве. Различение коллинеарных и компланарных векторов пригодится при изучении действий с векторами: оно помогает выяснять, как расположены представители. В стереометрии эти понятия позволяют описывать плоские и пространственные конфигурации.

Что запомнить

• Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
• Сонаправленные векторы направлены в одну сторону.
• Противоположно направленные векторы направлены в разные стороны.
• Сонаправленность и противоположную направленность рассматривают для коллинеарных ненулевых векторов.
• Компланарные векторы можно расположить в одной плоскости.
• Коллинеарные векторы всегда компланарны, но обратное утверждение неверно.