§ 57. Измерение площадей. Площадь прямоугольника

Определения и обозначения

Площадь фигуры — величина, показывающая, сколько единичных квадратов содержится в фигуре. Она нужна, чтобы сравнивать фигуры по размеру занимаемой поверхности, даже если их формы различаются. Чем больше таких квадратов помещается в фигуре, тем больше её площадь.

Единичный квадрат — квадрат, принятый за единицу измерения площади. Его сторона задаётся выбранной единицей длины: например, 1 см или 1 м, потому что площадь связана сразу с длиной и шириной поверхности. Такой квадрат служит меркой для покрытия и подсчёта площади.

Квадратный сантиметр — площадь квадрата со стороной 1 см; обозначается см². Квадратный миллиметр меньше него: 1 см² = 100 мм², а квадратный дециметр больше: 1 дм² = 100 см². Эти единицы выбирают в зависимости от размера измеряемой фигуры.

Площадь прямоугольника — число, равное произведению длин его смежных сторон. Площадь обычно обозначают буквой S, поэтому формулу записывают так: S = ab, где a и b — стороны прямоугольника. Обозначение помогает кратко записывать решение и проверять вычисления.

Как это устроено

Измерение площади сводится к подсчёту единичных квадратов, которыми можно покрыть фигуру без промежутков и наложений. Если между квадратами останутся пустоты, часть поверхности не будет измерена. Если квадраты наложатся, некоторые участки посчитают дважды.

Равные фигуры имеют равные площади, потому что при наложении они полностью совпадают и содержат одинаковое количество единичных квадратов. Фигуру можно также разделить на неперекрывающиеся части. Тогда общая площадь равна сумме площадей частей: каждый участок поверхности учитывается ровно один раз.

Если прямоугольник разбить на единичные квадраты, они образуют строки и столбцы. В каждой строке будет одинаковое число квадратов, а число строк показывает, сколько раз эту строку нужно повторить. Поэтому количество квадратов находят умножением числа квадратов в строке на число строк.

Для прямоугольника со сторонами a и b число квадратов в строке можно связать с одной стороной, а число строк — с другой. Получается формула S = ab. Обе стороны должны быть измерены в одинаковых единицах, иначе результат нельзя будет правильно выразить в квадратных единицах.

При переходе между единицами площади нужно помнить, что единица площади — это квадрат единицы длины. Например, 1 дм содержит 10 см не только по одной стороне квадрата, но и по другой. Поэтому 1 дм² = 10 · 10 см² = 100 см², а не 10 см².

Единицы измерения площади

Таблица помогает быстро выбрать подходящую единицу и выполнить перевод. При переходе к соседней большей единице площади делят на 100, а к меньшей — умножают на 100. Для километров и метров коэффициент равен 1 000 000, потому что 1 км = 1000 м и 1000² = 1 000 000.

Разбор задач

Задача 1

Условие: найти площадь прямоугольника со сторонами 6 см и 4 см. Обе длины уже выражены в сантиметрах, поэтому дополнительный перевод не нужен. Искомая площадь будет записана в квадратных сантиметрах.

1. Записываем формулу: S = ab.
2. Подставляем значения сторон: S = 6 · 4.
3. Выполняем умножение: S = 24 см².

Ответ: 24 см².

Задача 2

Условие: прямоугольник имеет стороны 3 дм и 25 см. Единицы разные, поэтому сразу перемножать 3 и 25 нельзя. Переведём дециметры в сантиметры, чтобы ответ получить в квадратных сантиметрах.

1. Переводим первую сторону: 3 дм = 30 см.
2. Применяем формулу площади: S = 30 · 25.
3. Получаем: S = 750 см².

Ответ: 750 см².

Задача 3

Условие: участок размером 12 м на 8 м разделили на прямоугольник 5 м на 8 м и оставшуюся часть. Чтобы найти остаток, сначала определим площадь всего участка, а затем вычтем площадь выделенной части. Все длины уже заданы в метрах.

1. Находим площадь участка: S₁ = 12 · 8 = 96 м².
2. Находим площадь выделенной части: S₂ = 5 · 8 = 40 м².
3. Вычитаем: Sост = S₁ − S₂ = 96 − 40 = 56 м².

Ответ: 56 м².

Типичные ошибки

Ошибка: записывать площадь в сантиметрах вместо квадратных сантиметров. Так бывает, когда ученик переносит единицу длины в ответ без учёта смысла произведения. Проверьте себя: после умножения двух длин единица должна иметь вторую степень, например см².

Ошибка: умножать стороны, выраженные в разных единицах. Причина — желание сразу подставить все числа в формулу, не проверив условие. Перед вычислением подчеркните единицы и переведите обе стороны к одной из них.

Ошибка: считать, что 1 дм² = 10 см². Такое рассуждение учитывает перевод только одной стороны квадрата, хотя у него две стороны. Для проверки возведите коэффициент перевода длины в квадрат: 10² = 100.

Ошибка: заменять произведение сторон их суммой или умножать только одну сторону. Число единичных квадратов зависит и от количества квадратов в строке, и от количества строк. Сверьте решение с формулой S = ab: в ней должны участвовать обе стороны.

Связь с другими темами

До изучения площадей нужно уметь измерять отрезки, сравнивать длины и переводить их из одних единиц в другие. Эти навыки нужны при подготовке данных для формулы S = ab. Если единицы выбраны неправильно, даже верное умножение даст неверный ответ.

Формула площади прямоугольника используется при нахождении площади квадрата и составных фигур. Она также помогает решать практические задачи о комнатах, участках, материалах и покрытиях. В составной фигуре прямоугольники складывают или вычитают, учитывая, перекрываются ли их части.

Что запомнить

• Площадь измеряют единичными квадратами.
• Равные фигуры имеют равные площади.
• Площадь составной фигуры равна сумме площадей её неперекрывающихся частей.
• Площадь прямоугольника равна произведению длин смежных сторон: S = ab.
• Длины сторон перед вычислением площади нужно выразить в одинаковых единицах.
• При переводе квадратных единиц коэффициент перевода длины возводят в квадрат.