"Геометрия. 7-9 класс", Волович М.Б., Атанасян Л.С.
Площадь показывает, сколько места занимает фигура на плоскости, и помогает сравнивать фигуры и находить неизвестные длины. Для прямоугольника достаточно знать длины двух смежных сторон: площадь равна их произведению. Для параллелограмма нужны основание и проведённая к нему высота, потому что именно эти отрезки задают площадь. В обоих случаях результат записывают в квадратных единицах, например в см² или м².
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Площадь прямоугольника — величина, показывающая, сколько единичных квадратов помещается в нём. Площадь обозначают буквой S, а стороны прямоугольника обычно обозначают a и b. Это понятие позволяет сравнивать прямоугольники и вычислять, сколько места они занимают.
Площадь параллелограмма — величина, измеряемая числом единичных квадратов, равновеликих этому параллелограмму. Равновеликие фигуры имеют одинаковую площадь, даже если выглядят по-разному. Такое понимание помогает находить площадь, преобразуя фигуру в более удобную.
Основание параллелограмма — выбранная сторона, к которой проводят перпендикуляр из вершины противоположной стороны. Основанием можно выбрать любую сторону, но при вычислениях нужно помнить, какой именно выбор сделан. Это нужно, чтобы правильно подобрать к стороне соответствующую высоту.
Высота параллелограмма — перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую выбранное основание; высоту обозначают h. Перпендикуляр может попасть на само основание или на его продолжение. Высота нужна для вычисления площади, поскольку наклонная боковая сторона не всегда показывает расстояние между параллельными сторонами.
Разобьём прямоугольник на единичные квадраты. Если его стороны имеют целые длины a и b, то в каждом ряду помещается b квадратов, а рядов получается a. Всего квадратов будет a умножить на b, поэтому площадь равна S = ab. Считать ряды и клетки по отдельности не требуется: произведение сразу даёт их общее число.
Стороны прямоугольника могут иметь не только целые, но и дробные длины. Тогда единичный квадрат можно мысленно разделить на более мелкие равные квадраты и применить тот же подсчёт; формула S = ab от этого не меняется. Если длины измерены в сантиметрах, результат будет в квадратных сантиметрах, потому что перемножаются две длины: см · см = см². Аналогично м · м = м².
У параллелограмма можно отсечь прямоугольный треугольник у одного края и перенести его к другому краю. Треугольник при переносе не меняет форму и площадь, поэтому частей не становится ни больше, ни меньше. После перестановки получается прямоугольник, равновеликий исходному параллелограмму. Именно сохранение площади при разрезании и переносе позволяет заменить одну фигуру другой.
Одна сторона полученного прямоугольника равна основанию параллелограмма: при переносе часть фигуры только переставили, а длина основания не изменилась. Другая сторона равна высоте, то есть расстоянию между прямыми, на которых лежат параллельные стороны. Поэтому площадь прямоугольника, а значит, и параллелограмма равна S = ah. Здесь a — основание, h — высота, проведённая к нему.
К каждой выбранной стороне нужно подбирать свою высоту, потому что высота измеряет перпендикулярное расстояние между парой параллельных сторон. При выборе другой стороны основанием перпендикуляр проводят уже к прямой, содержащей эту сторону. Высоты при разных основаниях могут иметь разную длину, но произведение основания на соответствующую ему высоту даёт одну и ту же площадь. Поэтому нельзя брать длину одной стороны и высоту, относящуюся к другой.
| Характеристика | Прямоугольник | Параллелограмм |
|---|---|---|
| Какие длины нужны для вычисления площади | Длины двух смежных сторон | Основание и высота к нему |
| Формула площади | S = ab | S = ah |
| Геометрический смысл множителей | Число рядов и число квадратов в ряду | Основание и расстояние между параллельными сторонами |
| Единицы измерения площади | Квадратные единицы: см², м² и другие | Квадратные единицы: см², м² и другие |
| Как найти неизвестную длину по площади | a = S/b или b = S/a | a = S/h или h = S/a |
Перед вычислением выбери формулу по типу фигуры и проверь, какие длины для неё нужны. В параллелограмме обязательно уточни, к какому основанию проведена данная высота. Таблица также помогает восстановить неизвестную длину, если известны площадь и второй множитель.
Задача 1. Найти площадь прямоугольника со сторонами 8 см и 5 см. Поскольку известны обе стороны, применяем формулу площади прямоугольника S = ab. Результат записываем в квадратных сантиметрах, так как обе длины даны в сантиметрах.
Ответ: 40 см².
Задача 2. Площадь параллелограмма равна 42 см², основание — 7 см. Найти высоту к этому основанию. Формула S = ah связывает площадь именно с парой «основание и высота к нему», поэтому искомую высоту найдём делением площади на основание.
Ответ: 6 см.
Задача 3. Площадь параллелограмма равна 60 см². Одна сторона равна 10 см, высота к ней — 6 см; другая сторона — 12 см. Нужно найти высоту к стороне 12 см. Сначала проверим, что первая пара согласуется с площадью, затем используем другую сторону как основание.
Ответ: 5 см.
Иногда в формуле S = ah используют высоту, проведённую к другой стороне. Это происходит, если не отмечают, какое основание выбрали. Проверь перпендикулярность: высота должна быть перпендикулярна прямой именно этого основания.
Наклонную боковую сторону параллелограмма порой принимают за высоту. Сторона кажется подходящей, потому что соединяет соседние вершины, но высота показывает расстояние между параллельными прямыми и образует с основанием прямой угол. Проведи или мысленно продолжи перпендикуляр и не подменяй его наклонным отрезком.
Ещё одна ошибка — записать площадь в сантиметрах, а не в квадратных сантиметрах. Так бывает, когда забывают, что перемножаются две длины. Проверь размерность: если стороны измерены в см, то см · см = см².
При поиске неизвестной высоты иногда умножают площадь на основание вместо деления. Из равенства S = ah следует h = S/a, а для основания a = S/h. Подставь найденное значение в исходную формулу: правильный результат должен снова дать известную площадь.
Чтобы строить высоту параллелограмма, нужно знать, что такое перпендикуляр и как находить расстояние от точки до прямой. Также пригодится умение измерять отрезки. Эти знания помогают отличить высоту от наклонной стороны.
Для вычислений важно понимать единицы длины и площади и уметь переводить их: например, см², дм² и м². При переводе площади учитывают, что единица возводится в квадрат, поэтому соотношение не такое, как при переводе обычных длин.
Формулы площади прямоугольника и параллелограмма используют при изучении площади треугольника и других многоугольников. Они также помогают решать обратные задачи, когда по площади требуется найти длину стороны или высоту. Такие задачи встречаются в геометрических вычислениях и на практике.
Почему площадь прямоугольника равна произведению его сторон?
Если длины сторон выражены целыми числами в единичных отрезках, прямоугольник можно заполнить рядами единичных квадратов. Число рядов равно длине одной стороны, а число квадратов в ряду — другой, поэтому S = ab. Формула сохраняется и для дробных длин.
Можно ли для нахождения площади параллелограмма умножить две его стороны?
Нет, произведение двух сторон обычно не даёт площадь параллелограмма. Нужно умножить основание на высоту, проведённую именно к этому основанию: S = ah. Боковая сторона может быть наклонной и не совпадать с высотой.
Как провести высоту параллелограмма к выбранному основанию?
Из вершины, не лежащей на выбранном основании, проведи перпендикуляр к прямой, которая содержит основание. Этот перпендикуляр и будет высотой. Если нужно, продолжи основание за пределы фигуры.
Может ли высота параллелограмма лежать вне самой фигуры?
Да. Если перпендикуляр из вершины падает на продолжение основания, отрезок высоты окажется снаружи параллелограмма. Он всё равно перпендикулярен прямой основания и подходит для вычисления площади.
Как найти основание или высоту, если известна площадь параллелограмма?
Из формулы S = ah вырази нужную величину: высота h = S/a, а основание a = S/h. Делить нужно площадь на длину другой стороны пары. Основание и высота должны относиться друг к другу.
§ 40. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма
