§ 42. Площадь трапеции. Площадь произвольного многоугольника. Равновеликие и равносоставленные фигуры

Определения и обозначения

Площадь многоугольника — величина, которая показывает, сколько места фигура занимает на плоскости. Её измеряют квадратными единицами: квадратными сантиметрами (см²), квадратными метрами (м²) и другими. Площадь нужна, чтобы сравнивать фигуры и вычислять размеры поверхностей. При решении задач обычно обозначают площадь буквой S.

Площадь произвольного многоугольника — это его площадь, которую можно найти, разбив фигуру на треугольники и сложив их площади. Такой способ подходит для многоугольников, для которых не выучена отдельная формула. Разбиение должно покрывать всю фигуру, не оставляя промежутков и не создавая наложений. Тогда каждый участок будет учтён ровно один раз.

Равновеликие фигуры — это фигуры с равными площадями, даже если они имеют разную форму. Например, длинный прямоугольник и квадрат могут занимать одинаковую площадь. Это понятие помогает сравнивать фигуры не по внешнему виду, а по количеству места, которое они занимают. Равновеликость сама по себе не означает, что фигуры можно совместить наложением.

Равносоставленные фигуры — это фигуры, которые можно разбить на конечное число соответственно равных частей. Соответственные части одной фигуры равны частям другой и могут быть переставлены. Такое разбиение объясняет, почему фигуры сохраняют общую площадь при изменении расположения частей. Понятие пригодится, когда площадь нельзя удобно вычислить по готовой формуле.

Как это устроено

Площадь целой фигуры сохраняется при её разбиении на части, потому что части вместе покрывают ровно ту же область. Если они не накладываются друг на друга и между ними нет промежутков, площадь целого равна сумме площадей частей. Это правило похоже на сложение отдельных участков поверхности. На нём строится вычисление площади сложных фигур, которые нельзя сразу узнать по одной формуле.

Формулу площади трапеции можно получить, составив из двух одинаковых трапеций параллелограмм. Для этого вторую трапецию поворачивают и приставляют к первой: их боковые стороны образуют границы параллелограмма. Его основание составлено из двух оснований трапеции, поэтому имеет длину a + b. Высота не меняется: расстояние между параллельными основаниями остаётся равным h.

Площадь полученного параллелограмма равна (a + b)h, поскольку площадь параллелограмма — это произведение основания на высоту. Он составлен из двух одинаковых трапеций, значит, площадь каждой из них в два раза меньше площади параллелограмма. Поэтому S = ½(a + b)h: сначала складывают основания, затем берут половину суммы и умножают её на высоту. Полусумма нужна именно потому, что параллелограмм составили из двух трапеций.

Чтобы найти площадь произвольного многоугольника, можно провести из одной вершины диагонали к несоседним вершинам. Так фигура разбивается на треугольники, а её граница не выходит за их пределы. Затем находят площадь каждого треугольника по известным данным и складывают результаты. Этот способ работает, потому что площадь многоугольника равна сумме площадей всех его частей.

Если фигуры равносоставлены, то у каждой из них одна и та же совокупность равных частей. При перестановке части не растягиваются и не изменяют свою площадь, поэтому сумма площадей остаётся неизменной. Значит, равносоставленные фигуры равновелики. Обратное утверждение нельзя применять автоматически: одинаковая площадь ещё не доказывает, что фигуры можно разрезать на соответствующие равные части.

Способы находить площадь многоугольника

Сначала определите, известна ли нужная формула для всей фигуры. Если нет, ищите способ разбить её на более простые части и складывайте площади. В формулах для трапеции и параллелограмма используйте высоту, а не наклонную сторону.

Разбор задач

Площадь трапеции

Условие. Найдите площадь трапеции с основаниями 6 см и 10 см и высотой 4 см. Основания — параллельные стороны трапеции, а высота — расстояние между ними под прямым углом. Для вычисления известны все три величины из формулы. Нужно получить ответ в квадратных сантиметрах.

1. Запишем формулу: S = ½(a + b)h. Она требует сначала сложить основания и взять половину их суммы.
2. Подставим данные: S = ½(6 + 10) · 4. В скобках получаем 16 см, а его половина равна 8 см.
3. Умножим полусумму на высоту: 8 · 4 = 32 см². Квадратные единицы нужны, потому что площадь измеряет поверхность.

Ответ: 32 см². Проверка здравого смысла: площадь лежит между произведениями меньшего и большего основания на высоту, то есть между 24 см² и 40 см². Полученное число попадает в этот промежуток.

Площадь пятиугольника

Условие. Пятиугольник разбили диагоналями из одной вершины на треугольники с площадями 8 см², 11 см² и 6 см². Требуется найти площадь всего пятиугольника. Разбиение на треугольники позволяет применить правило сложения площадей. Предполагается, что треугольники без промежутков и наложений покрывают весь пятиугольник.

1. Проверим, что учтены все части: из одной вершины пятиугольника диагонали образуют три треугольника. Значит, складываем все три указанные площади.
2. Вычислим сумму: 8 + 11 + 6 = 25. Поскольку складываются квадратные сантиметры, единица измерения результата — см².
3. Проверим, что никакую часть не пропустили и не прибавили дважды. В сумму вошла площадь каждого из трёх треугольников ровно один раз.

Ответ: 25 см². Здесь не нужна отдельная формула для пятиугольника: его площадь получена из площадей простых частей. Именно поэтому важно внимательно проверить разбиение.

Перестановка частей трапеции

Условие. Трапецию разрезали на части, а затем переставили, составив другую фигуру. Нужно объяснить, почему площади исходной и полученной фигур равны. Числовые размеры не даны, поэтому вычисления не требуются. Достаточно установить, что произошло с частями при перестановке.

1. Обозначим части, на которые разрезали трапецию. После перестановки используются те же самые куски, а не новые фигуры.
2. Убедимся, что части не растягивали, не сжимали и не перекрывали. Значит, площадь каждого куска сохранилась, а обе фигуры составлены из равных соответствующих частей.
3. Сложим площади частей для каждой фигуры. В обоих случаях сумма одна и та же, поскольку набор частей совпадает.

Ответ: площади равны, потому что фигуры равносоставлены. Изменилось расположение частей, но не их площади и не общая сумма. Такой вывод не зависит от формы новой фигуры.

Типичные ошибки

Забывают разделить сумму оснований на 2. Тогда вместо полусуммы в формулу подставляют целую сумму и получают площадь вдвое больше правильной. Так бывает, если помнить про сложение оснований, но терять из виду, что из двух трапеций составляют параллелограмм. Проверьте запись: S = ½(a + b)h, а не (a + b)h.

Принимают боковую сторону за высоту трапеции. Боковая сторона часто наклонена, а высота должна быть перпендикулярна обоим основаниям. Ошибку допускают, потому что высотой называют любой отрезок между сторонами фигуры. Проверьте, образует ли отрезок прямой угол с основанием; если нет, это не высота.

Пропускают треугольник или учитывают общую часть дважды. Тогда сумма площадей частей не совпадает с площадью всей фигуры. Это случается, если разбиение не проверили или сложили площади перекрывающихся частей. Проследите, чтобы каждый участок был покрыт ровно один раз, а все части вместе заполняли весь многоугольник.

Считают равновеликие фигуры одинаковыми по форме. Равновеликость означает только равенство площадей, поэтому контуры и размеры фигур могут различаться. Ошибка возникает, когда слово «равные» путают с равными площадями. Проверьте, утверждается ли лишь равенство S или ещё и возможность совместить фигуры наложением.

Связь с другими темами

Для вычисления площади трапеции нужны формулы площадей треугольника и параллелограмма, а также понятия основания и высоты. Высота всегда связана с перпендикуляром к выбранному основанию, поэтому умение находить её важно для разных фигур. Правило разбиения многоугольника пригодится в задачах на площади сложных фигур: их можно представить как набор простых. Равенство площадей частей также помогает обосновывать геометрические утверждения.

Что запомнить

• Площадь многоугольника равна сумме площадей частей, на которые он разбит.
• Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту.
• Высота трапеции — расстояние между её основаниями, измеренное перпендикулярно им.
• Произвольный многоугольник можно разбить на треугольники и сложить их площади.
• Равновеликие фигуры имеют равные площади.
• Равносоставленные фигуры имеют равные площади.