"Геометрия. 7-9 класс", Волович М.Б., Атанасян Л.С.
Многоугольники различаются числом сторон, но их углы связаны общими правилами. Диагонали помогают найти сумму внутренних углов выпуклого многоугольника, а для правильного многоугольника можно вычислить каждый угол. Вписанные и описанные многоугольники связывают фигуру с окружностью: вершины лежат на окружности или стороны касаются её. Если многоугольник описан около окружности, его площадь находится по периметру и радиусу этой окружности.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Внутренний угол многоугольника — это угол внутри фигуры, образованный двумя её соседними сторонами. У каждой вершины есть также внешний угол: он образован одной стороной и продолжением соседней стороны за вершину. Различать эти углы нужно, чтобы правильно применять формулы для суммы внутренних и внешних углов.
Правильный многоугольник — выпуклый многоугольник, у которого все стороны и все внутренние углы равны. Например, квадрат — правильный четырёхугольник. Это понятие позволяет не только находить сумму углов, но и вычислять величину каждого из них.
Многоугольник называют вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Окружность при этом проходит через вершины, а стороны обычно являются хордами — отрезками, соединяющими точки окружности. Такое определение помогает не путать положение вершин с касанием сторон.
Многоугольник называют описанным около окружности, если каждая его сторона касается окружности. Окружность находится внутри многоугольника, а точка касания лежит на каждой стороне. Это свойство важно для вычисления площади описанного многоугольника.
Возьмём выпуклый n-угольник и выберем одну его вершину. Проведём из неё диагонали ко всем вершинам, кроме самой выбранной и двух соседних: они уже соединены сторонами. Получатся треугольники без наложений, которые полностью покрывают многоугольник. Поэтому число треугольников равно n − 2: именно столько частей нужно, чтобы заполнить фигуру от одной вершины.
Сумма углов каждого треугольника равна 180°, а все углы полученных треугольников вместе составляют все внутренние углы многоугольника. Значит, сумма внутренних углов равна 180°(n − 2). Внешний угол вместе с соседним внутренним образует развёрнутый угол, то есть их сумма равна 180°. Если взять по одному внешнему углу у каждой вершины, их сумма дополнит сумму внутренних до 180°n и окажется равна 360°.
У правильного n-угольника все внутренние углы одинаковы. Чтобы найти один из них, общую сумму 180°(n − 2) делят на количество углов n. Так получается формула 180°(n − 2)/n; деление возможно именно потому, что все углы равны.
У правильного многоугольника можно провести серединные перпендикуляры к сторонам и перпендикулярные биссектрисы углов. Из равенства сторон и углов следует, что их пересечения находятся в одной точке, равноудалённой от вершин и сторон. Поэтому через вершины можно провести окружность с центром в этой точке, а внутри многоугольника — окружность, касающуюся всех сторон. Общую точку называют центром многоугольника; расстояние от неё до вершины — радиус описанной окружности, а расстояние до стороны — радиус вписанной окружности, или апофема.
Чтобы получить формулу площади описанного около окружности многоугольника, соединим центр окружности со всеми вершинами. Многоугольник распадётся на треугольники, основаниями которых служат его стороны, а общей высотой — радиус r: радиус к точке касания перпендикулярен стороне. Площадь каждого треугольника равна половине произведения его основания на r. Складывая площади, выносим общий множитель r/2, а сумму оснований заменяем периметром P; получаем S = Pr/2.
| Объект или величина | Формула или свойство | Условия применения |
|---|---|---|
| Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника | 180°(n − 2) | n — число сторон выпуклого многоугольника |
| Каждый внутренний угол правильного n-угольника | 180°(n − 2)/n | Все внутренние углы равны |
| Сумма внешних углов выпуклого многоугольника | 360° | Взят ровно один внешний угол при каждой вершине |
| Площадь описанного многоугольника | S = Pr/2 | P — периметр, r — радиус вписанной окружности |
| Апофема правильного многоугольника | Радиус вписанной окружности | Перпендикуляр от центра к стороне |
Сначала определите, какой многоугольник дан и какие величины известны: формулы требуют своих условий. Например, равенство углов нужно для нахождения одного угла правильного многоугольника, а площадь по формуле S = Pr/2 вычисляют только для описанного около окружности многоугольника.
В формулах для углов n обозначает число сторон, а в формуле площади P — периметр, r — радиус вписанной окружности. Апофема используется как этот радиус у правильного многоугольника.
Нужно найти сумму внутренних углов фигуры с девятью сторонами. Перед вычислением полезно представить, как диагонали из одной вершины делят её на треугольники. Для девятиугольника таких треугольников будет 9 − 2, а каждый даёт в сумме 180°.
Вычитание двух учитывает, что диагонали из выбранной вершины не образуют треугольники у двух примыкающих к ней сторон. Ответ: сумма внутренних углов выпуклого девятиугольника равна 1260°.
В правильном двенадцатиугольнике все внутренние углы одинаковы, поэтому сначала найдём их общую сумму. Затем разделим её на 12. Такой порядок не позволяет ошибочно принять число сторон за число треугольников при расчёте общей суммы.
Проверка: найденный угол меньше 180°, что подходит для внутреннего угла выпуклого многоугольника. Все двенадцать углов имеют эту же величину, потому что многоугольник правильный. Ответ: каждый внутренний угол равен 150°.
Периметр многоугольника, описанного около окружности радиуса 4 см, равен 30 см. Требуется найти площадь фигуры. Данные подходят для формулы S = Pr/2, потому что окружность касается всех сторон, а её радиус служит высотой треугольников при разбиении многоугольника.
Каждый треугольник в разбиении имеет высоту 4 см, поэтому формула учитывает площади всех частей. Ответ: площадь многоугольника равна 60 см².
Первая ошибка — подставлять n вместо n − 2 в формулу суммы углов. Её допускают, забывая, что из одной вершины образуется не n треугольников, а n − 2. Проверьте себя: вычтите два и свяжите полученное число с количеством частей на мысленном чертеже.
Иногда сумму внутренних углов любого многоугольника считают равной 360°. Это число относится к внешним углам, взятым по одному при каждой вершине; внутренние углы зависят от числа сторон. Для проверки подставьте n в формулу 180°(n − 2): например, у треугольника сумма внутренних углов равна 180°.
Можно перепутать вписанный и описанный многоугольники. Ошибка появляется, если помнить слово, но не проверять, что именно соприкасается с окружностью: вершины или стороны. Проверьте формулировку: вершины на окружности — вписанный, стороны касаются окружности — описанный.
Формулу S = Pr/2 применяют и к фигурам, которые не описаны около окружности, либо вместо r берут длину стороны. Формула работает, когда окружность касается всех сторон, а r — именно её радиус и высота треугольников. Перед вычислением проверьте условие задачи и подпишите величины: P — периметр, r — радиус вписанной окружности.
Для вывода суммы углов многоугольника нужны свойства треугольника: диагонали разбивают фигуру на треугольники, а сумма углов каждого равна 180°. При вычислении площади описанного многоугольника используется формула площади треугольника. Поэтому знание этих тем помогает понять, откуда берутся формулы, а не просто запомнить их.
Понятия касательной и перпендикуляра к касательной объясняют, почему радиус к точке касания перпендикулярен стороне и становится высотой треугольника. Эти свойства помогают работать с апофемой правильного многоугольника. Формулы углов и площади пригодятся при вычислениях с окружностями и правильными многоугольниками.
Почему при подсчёте суммы углов многоугольника появляется число n − 2?
Если из одной вершины выпуклого n-угольника провести все диагонали к несоседним вершинам, он разобьётся на n − 2 треугольника. У каждого треугольника сумма углов равна 180°, поэтому сумма углов многоугольника равна 180°(n − 2).
Как найти каждый угол правильного многоугольника, если известно число его сторон?
Сначала найди сумму внутренних углов: 180°(n − 2), где n — число сторон. Затем раздели эту сумму на n, потому что все углы правильного многоугольника равны.
Чем вписанный многоугольник отличается от описанного?
У вписанного многоугольника все вершины лежат на окружности. У описанного многоугольника все стороны касаются окружности.
Что такое апофема и как её найти?
Апофема правильного многоугольника — радиус окружности, вписанной в него. Её длину находят как расстояние от центра многоугольника до его стороны; этот отрезок перпендикулярен стороне.
Почему площадь описанного многоугольника равна половине произведения периметра на радиус вписанной окружности?
Если соединить центр вписанной окружности с вершинами многоугольника, фигура разобьётся на треугольники с основаниями, равными сторонам. Высота каждого такого треугольника равна радиусу окружности, поэтому сумма их площадей равна Pr/2.
§ 43. Сумма углов многоугольника. Правильные многоугольники. Вписанные и описанные многоугольники. Площадь описанного многоугольника
