§ 44. Развертки, объемы, сечения пространственных тел

Определения и обозначения

Развёртка многогранника — плоская фигура, которая получается, если разрезать поверхность многогранника по рёбрам и разложить её на плоскости. На ней можно увидеть все грани и их размеры. Развёртка помогает представить, из каких плоских частей состоит поверхность тела.

Объём тела — величина, показывающая, сколько места занимает тело. Объёмы можно сравнивать: например, одно тело вмещает больше кубиков, чем другое. Измеряют объём кубическими единицами, потому что его можно представить как число одинаковых кубов, заполняющих тело.

Сечение тела плоскостью — фигура, которая образуется, когда плоскость пересекает тело. Её граница состоит из отрезков, лежащих на гранях многогранника. Сечение помогает увидеть форму части тела, отделённой плоскостью.

Кубическая единица объёма — объём куба, ребро которого равно одной единице длины. Куб с ребром 1 см имеет объём 1 см³, а куб с ребром 1 м — 1 м³. Показатель ³ напоминает, что единица длины используется в трёх измерениях.

Как это устроено

Когда поверхность многогранника разрезают по рёбрам, грани можно разложить так, чтобы они оказались в одной плоскости. При этом форма и размеры каждой грани не меняются: меняется только её положение относительно остальных. Если согнуть развёртку по линиям рёбер, грани должны снова встретиться и образовать исходное тело. Поэтому плоская фигура подходит в качестве развёртки только тогда, когда при складывании её части занимают нужные места.

Проверяя развёртку, полезно мысленно назначить каждому квадрату место на кубе. Соседние на плоскости грани при сгибании могут оказаться соседними на теле, но не всякое расположение шести квадратов складывается удачно. Если две грани претендуют на одно и то же место, они наложатся, а часть поверхности останется незакрытой. Значит, нужно проследить, какие грани соединяются по каждому ребру, и убедиться, что все шесть окажутся на разных сторонах куба.

Прямоугольный параллелепипед можно заполнить одинаковыми кубиками с ребром в одну единицу длины. Если в нижнем слое помещается a × b кубиков, то во всём параллелепипеде будет столько таких слоёв, сколько единиц составляет его высота c. Поэтому общее число кубиков равно a × b × c, а объём записывают формулой V = abc. При других единицах измерения рассуждение остаётся таким же: перемножают длину, ширину и высоту.

Сечение строят по точкам, в которых плоскость пересекает рёбра тела. На каждой грани плоскость проходит по прямой, поэтому точки пересечения на одной грани соединяют отрезком. Так постепенно получают стороны сечения; после этого нужно проверить, что последняя сторона замкнула контур. Если точки принадлежат разным граням, напрямую соединять их нельзя, пока не установлено, что отрезок действительно идёт по одной грани.

У одного и того же куба сечения могут иметь разные очертания, потому что секущая плоскость может занимать разные положения. Если плоскость проходит параллельно грани, сечение будет квадратом. При другом наклоне она может пересечь несколько граней и дать прямоугольник или иной многоугольник. Значит, форму сечения определяет не один только куб, но и направление плоскости относительно его граней.

Развёртки, объёмы и сечения основных тел

Сравнивай строение тела, проверку развёртки, формулу объёма и примеры сечений в таблице. В графе о развёртке перечислены условия, которые нужно проверять при складывании. Примеры сечений возможны, но не ограничивают все варианты: результат зависит от положения плоскости.

Разбор задач

Задача 1. Составить развёртку куба с ребром 3 см и найти площадь её поверхности. Развёртка состоит из тех же граней, что и поверхность куба, только расположенных на плоскости. Сначала определим площадь одной грани, а затем учтём, сколько одинаковых граней у куба.

1. Изобразим шесть квадратов со стороной 3 см и расположим их так, чтобы при сгибании они образовали куб.
2. Площадь одного квадрата равна 3 × 3 = 9 см².
3. Площадь всей развёртки равна сумме площадей шести граней: 6 × 9 = 54 см².

Ответ: площадь развёртки равна 54 см². При выборе расположения квадратов нужно дополнительно проверить, что при складывании они не наложатся друг на друга.

Задача 2. Найти объём прямоугольного параллелепипеда с измерениями 4 см, 5 см и 8 см. Представим его заполненным кубиками объёмом 1 см³. В одном слое вдоль основания поместится 4 × 5 кубиков, а число слоёв определяется третьим измерением.

1. Найдём число кубиков в одном слое: 4 × 5 = 20.
2. Определим число слоёв: 8, так как высота равна 8 см.
3. Умножим число кубиков в слое на число слоёв: 20 × 8 = 160 см³. То же вычисление по формуле: V = 4 × 5 × 8 = 160 см³.

Ответ: объём равен 160 см³. Кубические сантиметры нужны потому, что результат показывает число кубиков с ребром 1 см, которые заполняют тело.

Задача 3. На кубе отмечены точки на его рёбрах, через которые проходит плоскость. Требуется построить сечение. Положение точек определяет, какие грани пересекает плоскость, поэтому сначала рассматриваем каждую такую грань отдельно. Затем стороны, найденные на соседних гранях, должны соединиться в одну замкнутую линию.

1. Отметим все заданные точки пересечения секущей плоскости с рёбрами куба.
2. На каждой грани найдём точки, принадлежащие этой грани, и соединим их отрезком.
3. Перейдём к соседним граням и продолжим построение, пока отрезки не образуют замкнутый контур.
4. Проверим, что каждый отрезок лежит на грани куба, а полученная фигура не пересекает сама себя.

Ответ: сечение — замкнутый многоугольник, построенный по точкам пересечения плоскости с рёбрами. Его конкретный вид зависит от расположения заданных точек и самой плоскости.

Типичные ошибки

Ошибка: считать любую фигуру из шести квадратов развёрткой куба. Квадраты действительно могут быть подходящего размера, но при складывании две грани иногда накладываются или часть куба остаётся незакрытой. Чтобы проверить себя, мысленно согни фигуру по сторонам и проследи, куда попадёт каждый квадрат. Все шесть граней должны занять разные стороны куба.

Ошибка: складывать длины рёбер при поиске объёма или записывать ответ в квадратных единицах. Так могут ошибиться, если смешать объём с периметром или площадью. Нужно перемножить три измерения, как в формуле V = abc, и записать кубические единицы. Быстрая проверка: объём единичными кубами измеряется числом кубиков, а не длиной или площадью.

Ошибка: соединять любые точки сечения, не проверяя, лежат ли они на одной грани. Отрезок между такими точками может пройти не по поверхности грани, поэтому построенный контур окажется неверным. Сначала рассматривай каждую грань отдельно и соединяй только точки, принадлежащие ей. Затем убедись, что стороны образовали замкнутую границу.

Ошибка: считать, что сечение куба всегда квадрат. Квадрат получается при некоторых положениях плоскости, например когда она параллельна грани, но наклонная плоскость пересекает грани иначе. Проверяй, какие грани пересекает плоскость и где находятся точки пересечения. По ним строится многоугольник, форма которого не обязана быть квадратной.

Связь с другими темами

Для вычисления объёма понадобятся умножение чисел и умение находить площадь квадрата и прямоугольника. Для чтения развёрток и построения сечений нужно различать грани, рёбра и вершины многогранника. Эти знания связывают плоские фигуры с пространственными телами: грани видны на развёртке, а их пересечения задают стороны сечения. Позже те же понятия пригодятся при изучении многогранников и в задачах о вместимости и упаковке.

Что запомнить

• Развёртка показывает поверхность многогранника на плоскости.
• При складывании развёртки грани должны соединиться без наложений.
• Объём измеряют в кубических единицах.
• Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его трёх измерений: V = abc.
• Сечение — фигура, полученная пересечением тела с плоскостью.
• Стороны сечения лежат на гранях тела.