§ 20. Понятие площади многоугольника.

Определения и обозначения

Площадь многоугольника — положительная величина, характеризующая размер части плоскости, занимаемой многоугольником; её обычно обозначают буквой S. Иными словами, площадь показывает, сколько места занимает фигура на плоскости. Это позволяет сравнивать фигуры и вычислять размеры составных участков.

Единица площади — площадь квадрата, сторона которого принята за единицу длины. Основные единицы площади — мм², см², дм² и м². Если сторона единичного квадрата равна 1 см, его площадь составляет 1 см²; такая мера нужна для подсчёта и сравнения площадей.

Равновеликие многоугольники — многоугольники, имеющие равные площади, даже если они не равны по форме и размерам. Например, узкий длинный прямоугольник и более широкий короткий могут занимать одинаковую площадь. Понятие равновеликости помогает сравнивать фигуры по занимаемой части плоскости, а не по внешнему виду.

Аддитивность площади означает, что площадь многоугольника, составленного из неперекрывающихся частей, равна сумме площадей этих частей. Поэтому сложную фигуру можно разделить на простые и сложить их площади. Если из целой фигуры удалить часть, площадь оставшегося участка находят вычитанием.

Как это устроено

Квадратная сетка помогает измерять площадь, потому что одинаковые клетки покрывают плоскость без промежутков и наложений. Если сторона клетки принята за единицу длины, каждая клетка задаёт одну квадратную единицу. Подсчитав клетки, мы узнаём, сколько таких одинаковых единиц помещается внутри многоугольника. Поэтому площадь выражают квадратными, а не линейными единицами.

Сложную фигуру не всегда удобно измерять целиком, зато её можно разделить на более простые многоугольники. Причина в том, что для простых частей проще определить площадь, а общая фигура при разбиении сохраняется. Нужно провести границы частей так, чтобы они не перекрывались и вместе составляли исходную фигуру. Затем площади частей складывают, не считая одну и ту же область дважды.

Равные многоугольники совпадают при наложении, поэтому все их соответствующие размеры и занимаемые области совпадают; отсюда равенство площадей. Но у равных площадей нет требования совпадать по форме: достаточно, чтобы величина занимаемой части плоскости была одной и той же. Например, одну фигуру можно вытянуть, изменив её форму, но сохранить её площадь. Поэтому равновеликость — более широкое сравнение по площади, чем равенство фигур.

Когда многоугольник разбит на части, вся его площадь распределена между этими частями без пропусков и повторов. Именно поэтому площадь целого складывается из площадей частей. Если известна площадь целой фигуры и площадь удалённого участка, оставшаяся область составляет ту часть целого, которая не была удалена: её площадь равна разности. Такой способ удобен, когда вычислить оставшуюся фигуру напрямую трудно.

Название единицы площади связано с квадратом единицы длины, поэтому при переводе единиц длины коэффициент нужно учитывать дважды. Например, 1 м = 100 см, а квадрат со стороной 1 м содержит 100 × 100 = 10 000 квадратов со стороной 1 см, значит, 1 м² = 10 000 см². По той же причине 1 дм² = 100 см², а 1 см² = 100 мм². В ответе указывают квадратную единицу, соответствующую выбранной мере.

Основные понятия и свойства площади многоугольника

Сначала определите, какая ситуация описана: подсчёт клеток, разбиение на части, удаление участка или сравнение равных фигур. Затем выберите соответствующее свойство и проверьте, что части не перекрываются. В конце запишите площадь с нужной квадратной единицей.

Разбор задач

Задача 1. Многоугольник на клетчатой бумаге составлен из 12 неперекрывающихся квадратов со стороной 1 см. Найдите его площадь.
1. Сторона каждой клетки равна 1 см, значит, одна клетка имеет площадь 1 см².
2. Клетки не перекрываются, поэтому площадь фигуры равна сумме площадей 12 клеток: 12 × 1 см² = 12 см².
Ответ: 12 см².

Задача 2. Фигура разбита на прямоугольник площадью 24 см² и треугольник площадью 7 см². Найдите площадь всей фигуры.
1. Проверяем, что части вместе составляют фигуру и не перекрываются.
2. По свойству сложения площадей площадь целого равна сумме площадей частей: 24 см² + 7 см² = 31 см².
3. Обе площади выражены в одинаковых единицах, поэтому переводить их не требуется.
Ответ: 31 см².

Задача 3. Из прямоугольника площадью 45 см² вырезали многоугольник площадью 13 см². Сравните площадь оставшейся фигуры с площадью многоугольника площадью 32 см².
1. Площадь оставшейся части равна площади целого прямоугольника за вычетом удалённого участка.
2. Вычисляем: 45 см² − 13 см² = 32 см².
3. Полученная площадь совпадает с площадью второго многоугольника, значит, фигуры равновелики. Их формы при этом могут быть разными.
Ответ: площади равны, каждая составляет 32 см².

Типичные ошибки

Ошибка: считать равными только фигуры одинаковой формы. Её допускают, потому что при обычном сравнении фигур часто ориентируются на внешний вид, однако равновеликость означает лишь равенство площадей. Проверьте себя: если форма различается, сравните именно значения площадей. Совпадения этих значений достаточно, чтобы назвать многоугольники равновеликими.

Ошибка: складывать площади частей, которые перекрываются. Тогда общая область учитывается дважды, хотя в исходной фигуре она имеется только один раз. Такая ошибка возникает, если не проверить, как именно проведено разбиение. Перед сложением убедитесь, что части не накладываются и вместе без пропусков образуют целую фигуру.

Ошибка: записывать площадь в сантиметрах вместо квадратных сантиметров. Сантиметр измеряет длину, а площадь показывает размер области, поэтому единицы у этих величин разные. Ошибку легко заметить по смыслу ответа: для площади должна быть квадратная единица, например см². Проверяйте обозначение отдельно от числового результата.

Ошибка: переводить квадратные единицы по линейному коэффициенту. Например, из равенства 1 м = 100 см неверно заключать, что 1 м² = 100 см², поскольку квадрат со стороной 1 м содержит 100 × 100 маленьких квадратов по 1 см². При переводе возведите коэффициент длины в квадрат: 1 м² = 10 000 см². Для проверки разберите квадратную единицу на квадраты меньшего размера.

Связь с другими темами

Для работы с площадью нужны знания о многоугольниках, равных фигурах, длине отрезка и единицах измерения. Эти понятия помогают распознавать фигуры, сравнивать их и правильно записывать результаты. Дальше площадь станет основой для формул прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции. Её свойства также применяют при разбиении сложных фигур, доказательстве равновеликости и вычислении неизвестных площадей.

Что запомнить

• Площадь характеризует размер части плоскости, занимаемой фигурой.
• Площадь измеряют квадратными единицами.
• Площадь единичного квадрата принимают за 1.
• Равные многоугольники имеют равные площади.
• Равновеликие многоугольники могут быть разной формы.
• Площадь составной фигуры равна сумме площадей её неперекрывающихся частей.
• Площадь оставшейся части находят вычитанием площади удалённой части из площади целой фигуры.