8 класс

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, у которых равны соответствующие стороны и углы. Иными словами, один треугольник можно совместить с другим так, чтобы их вершины и стороны совпали. Это понятие позволяет переносить известные свойства одного треугольника на другой.

Соответствующие вершины, стороны и углы — элементы двух треугольников, занимающие одинаковое положение. Например, если вершина A соответствует A₁, то стороны, выходящие из A, соответствуют сторонам, выходящим из A₁. Понимание соответствия нужно, чтобы правильно сравнивать элементы и записывать равенство треугольников.

Первый признак равенства треугольников гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Например, можно сравнить AB с A₁B₁, AC с A₁C₁, а угол A — с углом A₁. Этот признак помогает установить равенство, не проверяя все стороны и углы по отдельности.

Признак равенства треугольников — достаточное условие, которое позволяет заключить, что треугольники равны. Достаточное означает, что выполнения этого условия уже хватает для вывода. Поэтому после проверки нужных элементов можно перейти к сравнению остальных соответствующих сторон и углов.

Как это устроено

Почему для равенства достаточно двух сторон и угла между ними? Представьте, что известны длины двух сторон, выходящих из одной вершины, и величина угла между ними. Эти данные фиксируют положение концов сторон относительно общей вершины, поэтому третий угол и третья сторона уже не могут выбираться произвольно. Если такие три элемента совпадают у двух треугольников, они совпадают целиком.

Это можно увидеть при построении. Сначала проводят угол заданной величины, затем от его вершины откладывают на одном луче длину первой стороны, а на другом — длину второй. Полученные точки однозначно определены, и их соединяют отрезком. Поэтому по двум сторонам и углу между ними получается единственный треугольник с точностью до его положения на плоскости.

Чтобы правильно сопоставить вершины, сначала найдите равные углы и стороны, которые образуют этот угол. Если ∠A = ∠A₁, то стороны AB и AC сопоставляются со сторонами, выходящими из A₁: обычно это A₁B₁ и A₁C₁. Запись △ABC = △A₁B₁C₁ означает именно такое соответствие: A — A₁, B — B₁, C — C₁. Перестановка букв может изменить смысл записи.

Доказательство первого признака строится на идее совмещения треугольников. Совместим вершины равных углов, а одну из равных сторон направим вдоль соответствующей стороны другого треугольника. Так как величины углов совпадают, вторые стороны будут лежать на одном луче; их длины также равны, значит, совпадут и их концы. Соединив совпавшие концы, получим совпадение третьих сторон и самих треугольников.

Признак применяют не только для вывода о равенстве целых треугольников. Сначала доказывают равенство двух треугольников, затем по соответствию вершин заключают, что равны нужные стороны или углы. Такой порядок важен: нельзя просто объявить искомые элементы равными, пока не установлено, почему это следует из условия. В записи равенства проверьте, что порядок букв отражает найденное соответствие.

Первый признак равенства треугольников

Проверяйте, что обе сравниваемые стороны сходятся в вершине указанного угла. Затем сопоставьте каждую сторону и угол с элементом второго треугольника. Если все три равенства выполнены, можно записать равенство треугольников в порядке соответствующих вершин.

Разбор задач

Задача 1

Условие: в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ известно, что AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и ∠A = ∠A₁. Докажите равенство треугольников. Сначала проверим, подходят ли данные под первый признак, а затем запишем вывод с правильным соответствием вершин.

1. Вершина угла A — общая для сторон AB и AC; вершина угла A₁ — общая для A₁B₁ и A₁C₁.
2. По условию равны обе пары сторон и углы между ними: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠A = ∠A₁.
3. По первому признаку треугольники равны. Соответствие вершин: A — A₁, B — B₁, C — C₁.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁. Именно углы A и A₁ расположены между указанными парами сторон, поэтому условие признака выполнено.

Задача 2

Условие: точка B лежит на отрезке AC, AB = CB и AD = CD. Докажите равенство треугольников ABD и CBD. Здесь есть две пары равных сторон по условию, а отрезок BD является общей стороной. Удобно проверить сразу три пары сторон.

1. Из условия имеем AB = CB и AD = CD.
2. Сторона BD общая для треугольников ABD и CBD, поэтому BD = BD.
3. Все три пары соответствующих сторон равны, следовательно, треугольники равны по трём сторонам.

Ответ: △ABD = △CBD. В этой задаче первый признак не применяется: угол между известными сторонами отдельно не дан, зато равны все три пары сторон.

Задача 3

Условие: медиана AD треугольника ABC одновременно является биссектрисой угла A. Докажите, что AB = AC. Медиана делит сторону BC пополам, а биссектриса делит угол A на равные части. Сравним площади треугольников ABD и ACD, чтобы использовать оба свойства.

1. Так как AD — медиана, BD = DC. Треугольники ABD и ACD имеют равные основания BD и DC, лежащие на одной прямой, и общую высоту из A, поэтому их площади равны.
2. Поскольку AD — биссектриса, ∠BAD = ∠DAC. Площади тех же треугольников равны соответственно ½·AB·AD·sin∠BAD и ½·AC·AD·sin∠DAC.
3. В этих выражениях AD и синусы равны, а площади равны. Следовательно, AB = AC.

Ответ: AB = AC. Важно: из данных задачи нельзя сразу применить первый признак к треугольникам ABD и ACD, так как равенство двух сторон и заключённого между ними угла ещё не установлено.

Типичные ошибки

Сравнивают две стороны и любой угол, хотя в признаке нужен угол именно между сторонами. Часто замечают, что угол равен, но не проверяют, какие стороны его образуют. Перед применением признака проследите, сходятся ли обе известные стороны в вершине этого угла.

Неверно записывают порядок вершин и тем самым задают неправильное соответствие сторон и углов. Ошибка возникает, когда буквы ставят по привычке, не сверяя элементы. Сначала сопоставьте вершины по углам и сторонам, а потом проверьте, что каждой стороне соответствует сторона между теми же вершинами.

Иногда треугольники объявляют равными только потому, что у них совпали две стороны. Но угол между ними может быть разным, а треугольники при этом — не совпадать. Проверьте, есть ли в условии ещё и равенство заключённых между сторонами углов или основание для другого признака.

В доказательстве могут сразу написать, что нужные стороны равны, не объяснив причину. Так вывод выглядит необоснованным, даже если он верен. Укажите сначала равенства элементов из условия, назовите признак равенства треугольников, запишите соответствие и только затем сравните нужные стороны или углы.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужны знания о видах углов, свойствах отрезков и углов, а также о построении треугольника по заданным элементам. Позже равенство треугольников помогает доказывать свойства равнобедренного треугольника и решать задачи на построение. Признаки равенства также пригодятся при изучении параллельных прямых, высот, медиан и биссектрис: с их помощью обосновывают равенство отдельных отрезков и углов.

Что запомнить

• Равные треугольники имеют равные соответствующие элементы.
• В первом признаке сравниваются две стороны и угол между ними.
• Угол должен быть заключён между рассматриваемыми сторонами.
• После установления равенства треугольников можно сравнивать любые соответствующие элементы.
• Порядок вершин в записи равенства треугольников задаёт соответствие.
• Первый признак является достаточным условием равенства треугольников.