§ 15. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Геометрическое место точек угла, равноудаленных от его сторон

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол прямой, то есть равен 90°. Две стороны, образующие этот угол, называются катетами, а сторона напротив прямого угла — гипотенузой. Гипотенуза всегда длиннее каждого катета. Эти названия помогают правильно выбирать элементы для сравнения треугольников.

Признак равенства по гипотенузе и катету утверждает: если гипотенуза и один катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, треугольники равны. Слово «соответственно» означает, что сравниваются одинаковые по роли стороны. Для применения признака нужно убедиться, что среди равных сторон есть именно гипотенуза и катет. Он позволяет доказать равенство, не находя остальные элементы напрямую.

Есть признаки равенства по катету и острому углу, а также по гипотенузе и острому углу. В каждом случае должны быть равны соответствующие стороны и соответствующие острые углы двух прямоугольных треугольников. Острый угол — угол меньше 90°. Эти признаки удобны, когда длины всех сторон неизвестны, но можно сравнить угол и одну сторону.

Геометрическое место точек — множество точек, обладающих указанным свойством. Точки внутри угла, равноудалённые от его сторон, образуют его биссектрису; биссектриса делит угол на два равных угла. Расстояние от точки до стороны измеряют по перпендикуляру к прямой, содержащей эту сторону. Такое определение помогает точно связывать расстояния с прямоугольными треугольниками.

Как это устроено

У любого прямоугольного треугольника уже есть угол 90°. Поэтому при сравнении двух таких треугольников пара прямых углов заведомо равна, и эту часть условий общего признака равенства не нужно устанавливать заново. Достаточно проверить некоторые другие соответствующие элементы. Это и объясняет, почему для прямоугольных треугольников существуют специальные, более короткие признаки.

Если равны катеты и прилежащие к ним острые углы, то известны сторона и два угла, прилежащие к ней: один острый угол и прямой угол. По общему признаку равенства по стороне и двум прилежащим углам треугольники равны. Если равные острые углы лежат напротив соответствующих катетов, рассуждение другое: острые углы прямоугольного треугольника в сумме составляют 90°. Поэтому равенство одного острого угла означает равенство и другого, прилежащего к катету, после чего снова работает общий признак.

Равенство гипотенузы и острого угла тоже достаточно. Прямые углы двух треугольников равны, острые углы по условию равны, а гипотенузы соответствуют друг другу. Получаются два равных угла и соответствующая сторона; можно применить общий признак равенства по стороне и двум углам. Так что сравнение гипотенуз с острым углом заменяет проверку дополнительных сторон.

Почему достаточно равенства гипотенузы и катета? Пусть известны гипотенуза c и катет a. Второй катет b связан с ними теоремой Пифагора: a² + b² = c², значит, b² = c² − a². Если соответствующие гипотенузы и катеты равны, то равны и вторые катеты. Теперь равны все три пары сторон, поэтому треугольники равны по трём сторонам.

Пусть точка внутри угла равноудалена от его сторон. Опустим из неё перпендикуляры на обе стороны: их длины равны, потому что это расстояния до сторон. Вместе с отрезками сторон и отрезками от вершины угла до точки эти перпендикуляры образуют два прямоугольных треугольника. У них равны гипотенузы (это общий отрезок от вершины до точки) и по катету (перпендикулярные расстояния), значит, треугольники равны по гипотенузе и катету. Поэтому углы при вершине исходного угла равны, а точка лежит на биссектрисе.

Верно и обратное: каждая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Из неё опускают перпендикуляры на стороны и получают прямоугольные треугольники с общей гипотенузой. Угол при вершине у них одинаков, поскольку точка лежит на биссектрисе. По гипотенузе и острому углу треугольники равны, следовательно, равны и перпендикулярные катеты — расстояния до сторон.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Сначала определите в каждом треугольнике гипотенузу и катеты, затем проверьте, какие именно элементы равны. Выбирайте признак, условия которого полностью совпадают с данными задачи. Для катета и угла также проследите, чтобы угол был соответствующим; он может быть прилежащим к катету или противолежащим.

Разбор задач

Задача 1. Равны соответствующие катеты

В двух прямоугольных треугольниках соответствующие катеты равны. Докажите равенство треугольников. Чтобы выбрать признак, не нужно искать углы или гипотенузы: прямые углы уже есть по условию, что треугольники прямоугольные. Остаётся сопоставить два катета одного треугольника с двумя катетами другого.

1. Обозначим катеты первого треугольника a и b, второго — a₁ и b₁. По условию a = a₁ и b = b₁. Эти равенства относятся к соответствующим катетам.
2. Угол между катетами в каждом треугольнике прямой, поэтому эти углы равны. Получены две равные стороны и равный угол между ними. Можно применить общий признак равенства по двум сторонам и углу между ними.
3. Следовательно, прямоугольные треугольники равны. Этот вывод также соответствует специальному признаку по двум катетам, который учитывает наличие прямого угла.

Ответ: треугольники равны по двум катетам.

Задача 2. Равны гипотенузы и катеты

В двух прямоугольных треугольниках равны гипотенузы и по одному катету. Докажите равенство. Важно не принять за гипотенузу любую из равных сторон: сначала находим стороны напротив прямых углов. Тогда условие точно совпадает с признаком по гипотенузе и катету.

1. В каждом треугольнике отметим прямой угол. Сторона напротив него — гипотенуза, две стороны, прилегающие к нему, — катеты. По условию гипотенузы равны, а также равны соответствующие катеты.
2. Второй катет можно было бы найти из теоремы Пифагора, но для этого признака такой расчёт не требуется. Равенства гипотенузы и одного катета в прямоугольных треугольниках уже достаточно. Проверка ролей сторон подтверждает, что условие признака выполнено.
3. Применяем признак равенства по гипотенузе и катету. Получаем равенство треугольников целиком, а значит, равны и все их соответствующие стороны и углы.

Ответ: треугольники равны по гипотенузе и катету.

Задача 3. Точка равноудалена от сторон угла

Точка P внутри угла равноудалена от его сторон. Докажите, что она лежит на биссектрисе угла. Равенство расстояний нельзя сразу заменить равенством углов: сначала нужно представить расстояния геометрически. Для этого из точки P опускают перпендикуляры к сторонам.

1. Обозначим вершину угла O, а основания перпендикуляров из P на стороны — A и B. Тогда PA и PB — расстояния от P до сторон, поэтому по условию PA = PB. Треугольники OAP и OBP прямоугольные.
2. Отрезок OP является общей гипотенузой этих треугольников. У них также равны катеты PA и PB, значит, треугольники равны по гипотенузе и катету. Равенство треугольников даёт равенство соответствующих углов при вершине O.
3. Значит, OP делит исходный угол на два равных угла. По определению OP — биссектриса, а точка P лежит на ней.

Ответ: точка P лежит на биссектрисе угла.

Типичные ошибки

Иногда за расстояние от точки до стороны принимают наклонный отрезок. Его длина зависит от выбранной точки на стороне и обычно не является кратчайшим расстоянием. Расстояние измеряется по перпендикуляру к прямой, содержащей сторону. Проверьте себя: у отрезка расстояния должен быть прямой угол с этой прямой.

Гипотенузу могут перепутать с катетом, особенно если на чертеже стороны выглядят похоже. Гипотенуза лежит напротив прямого угла, а катеты образуют этот угол. Определяйте их по положению, а не по внешнему виду или длине на рисунке. Если сторона касается прямого угла, она катет.

Признак по гипотенузе и катету нельзя применять, если известны гипотенуза и произвольная сторона. Второй элемент должен быть катетом, то есть прилегать к прямому углу, а не лежать напротив него. Ошибку допускают, когда не отмечают прямой угол и не классифицируют стороны. Перед применением признака назовите обе стороны и проверьте их роль.

Равенство расстояний до сторон само по себе не показывает, что точка лежит на биссектрисе, если не объяснить переход от расстояний к углам. Нужно опустить перпендикуляры, получить прямоугольные треугольники и доказать их равенство по соответствующим элементам. Только после этого можно заключить, что углы при вершине равны. Проверьте, что в доказательстве названы и расстояния, и равные углы.

Связь с другими темами

Для работы с признаками нужны определения катета, гипотенузы и перпендикуляра, а также понимание расстояния от точки до прямой. Пригодятся и общие признаки равенства треугольников: они объясняют, почему установленных равных сторон и углов достаточно. Если эти понятия знакомы, легче увидеть, какой признак подходит к условию задачи.

Теорема Пифагора помогает обосновать признак по гипотенузе и катету: по двум сторонам прямоугольного треугольника определяется третья. Сумма острых углов, равная 90°, позволяет перейти от одного острого угла к другому. Эти свойства связывают специальные признаки с уже известными правилами.

Результат о равноудалённых точках уточняет свойство биссектрисы и применяется в задачах на построение и геометрическое место точек. Он помогает как доказать, что точка лежит на биссектрисе, так и показать, что точка биссектрисы одинаково удалена от сторон. В обеих задачах удобно строить перпендикуляры.

Что запомнить

• В прямоугольных треугольниках прямые углы равны.
• Прямоугольные треугольники равны по двум катетам.
• Для равенства достаточно равенства катета и острого угла.
• Для равенства достаточно равенства гипотенузы и острого угла.
• Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету.
• Точки внутри угла, равноудалённые от его сторон, лежат на биссектрисе.
• Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.