§ 14. Свойство сторон и углов треугольника. Расстояние от точки до прямой

Определения и обозначения

Неравенство треугольника — утверждение, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Например, если длины сторон обозначены a, b и c, то выполняются условия a < b + c, b < a + c и c < a + b. Это правило помогает проверить, можно ли из трёх отрезков составить треугольник.

Сторона и угол, расположенные друг напротив друга, называются противолежащими. Чтобы найти противолежащий стороне угол, посмотри на вершину, которая не лежит на этой стороне. Напротив угла, наоборот, находится сторона, не примыкающая к его вершине. Это соответствие нужно, чтобы правильно сравнивать стороны и углы.

Перпендикуляр к прямой из точки — это отрезок, который проведён из точки к прямой и образует с ней прямой угол. Точку, где отрезок пересекает прямую, называют основанием перпендикуляра. Прямой угол показывает, что отрезок выбран не произвольно, а в особом направлении.

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Если обозначить перпендикуляр AB, то расстояние от A до прямой равно длине AB. Другие отрезки от точки к прямой могут иметь разную длину, поэтому расстоянием их не называют.

Как это устроено

Пусть в треугольнике ABC сторона AC больше стороны AB. Нужно показать, что угол B, лежащий напротив AC, больше угла C, лежащего напротив AB. На стороне AC отметим точку D так, чтобы AD = AB, и проведём отрезок BD. Треугольник ABD равнобедренный, поэтому его углы при основании равны: угол ABD равен углу BDA.

Точка D находится между A и C, поэтому луч DA и луч DC направлены в противоположные стороны. Значит, угол BDA — внешний угол треугольника BDC, а он больше внутреннего угла BCD. Угол ABC состоит из углов ABD и DBC, поэтому он больше угла ABD. Вместе эти сравнения дают: угол ABC больше угла BCD, то есть напротив большей стороны AC лежит больший угол.

Обратное сравнение — напротив большего угла лежит большая сторона — также верно. Если бы напротив большего угла оказалась меньшая сторона, то уже доказанное свойство заставило бы угол напротив этой меньшей стороны быть меньшим, что противоречит условию. В равнобедренном треугольнике равным сторонам противолежат равные углы, а обратное утверждение показывает и обратное: равным углам соответствуют равные стороны.

Неравенство треугольника можно понять через прямую линию: путь по двум сторонам между концами третьей стороны длиннее прямого отрезка между ними. Например, путь из вершины A в вершину B через C состоит из AC и CB, а прямое расстояние между A и B равно AB. Поэтому AB < AC + CB; такой же рассуждение можно провести для каждой стороны, выбирая две другие вершины.

Через точку вне прямой можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной; её отрезок до прямой тоже определяется однозначно. Если из этой точки провести наклонную и соединить её конец с основанием перпендикуляра, получится прямоугольный треугольник. Наклонная будет его гипотенузой, а перпендикуляр — катетом; гипотенуза длиннее каждого катета. Поэтому перпендикуляр короче любой наклонной, а его длина и есть кратчайшее расстояние до прямой.

Свойства сторон и углов треугольника и расстояние до прямой

Сначала определи, какие объекты сравниваются: стороны с углами или отрезки до прямой. Для сторон и углов сопоставляй только противолежащие элементы. Для расстояния до прямой ищи перпендикуляр, а не самый заметный или удобный наклонный отрезок.

Разбор задач

1. В треугольнике стороны равны 5 см, 7 см и 9 см. Расположите углы по возрастанию.

Чтобы сравнить углы, сначала нужно сопоставить каждый из них с противоположной стороной. Чем больше сторона, тем больше противолежащий ей угол. Названия углов зависят от того, как обозначены вершины треугольника, поэтому ответ удобно записать через стороны, напротив которых углы лежат.

1. Расположим длины сторон по возрастанию: 5 см < 7 см < 9 см.
2. Угол напротив стороны 5 см будет наименьшим, а напротив стороны 9 см — наибольшим.
3. Угол напротив стороны 7 см окажется между ними по величине.

Ответ: по возрастанию идут углы, лежащие напротив сторон 5 см, 7 см и 9 см соответственно.

2. Могут ли отрезки длиной 3 см, 4 см и 8 см быть сторонами треугольника? Обоснуйте ответ.

Для существования треугольника сумма любых двух сторон должна быть больше третьей. Достаточно найти хотя бы одно нарушенное неравенство, чтобы сразу исключить возможность построения. Здесь удобно начать с двух самых коротких отрезков: если даже их сумма не превосходит самый длинный, остальные проверки не спасут ситуацию.

1. Сложим два меньших отрезка: 3 + 4 = 7 см.
2. Сравним полученную сумму с третьим отрезком: 7 см < 8 см.
3. Условие нарушено: сумма двух сторон должна быть строго больше третьей.

Ответ: не могут. Отрезки длиной 3 см, 4 см и 8 см не образуют треугольник, потому что 3 + 4 меньше 8.

3. Из точки A к прямой проведены перпендикуляр AB длиной 6 см и наклонная AC длиной 10 см. Найдите расстояние от точки A до прямой и объясните, почему оно меньше AC.

От точки к прямой проведены два отрезка, но они играют разные роли. AB образует с прямой прямой угол, а AC приходит к ней под другим углом. По определению расстояние измеряют вдоль перпендикуляра, а не вдоль произвольно выбранного отрезка.

1. Определим, какой из отрезков является перпендикуляром: это AB.
2. Возьмём его длину: AB = 6 см.
3. Сравним её с AC: 6 см < 10 см; перпендикуляр короче наклонной, проведённой из той же точки.

Ответ: расстояние от A до прямой равно 6 см и меньше длины AC, равной 10 см.

Типичные ошибки

Путают противолежащую сторону и прилегающую к углу. Так бывает, если смотреть только на близость сторон к вершине угла. Проверь себя: противолежащая сторона не касается вершины угла, а соединяет две другие вершины треугольника.

Считают, что большему углу соответствует меньшая сторона. Иногда сравнение путают из-за того, что стороны и углы расположены по-разному. Запомни направление связи: больше — больше; для проверки найди сторону, лежащую напротив каждого угла.

Проверяют для трёх отрезков только одно неравенство или сравнивают их попарно. Можно случайно пропустить условие, которое не позволяет построить треугольник. Проверь сумму каждой пары: все три суммы должны быть строго больше оставшейся длины.

Называют расстоянием до прямой длину наклонной. Наклонная тоже соединяет точку с прямой, поэтому её легко принять за искомый отрезок. Найди обозначение прямого угла: только отрезок, образующий его с прямой, задаёт расстояние.

Связь с другими темами

Для этой темы нужно знать, как распознавать прямой угол, перпендикулярные прямые и вершины, стороны и углы треугольника. Сравнение противолежащих сторон и углов помогает рассуждать о свойствах треугольников и находить, какие их элементы больше. Расстояние от точки до прямой понадобится при изучении высоты треугольника: высота проводится из вершины перпендикулярно противоположной стороне или её продолжению. Тот же смысл кратчайшего расстояния используется и при работе с другими геометрическими объектами.

Что запомнить

• В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол.
• Напротив большего угла лежит большая сторона.
• Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.
• Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из этой точки.
• Перпендикуляр короче любой наклонной, проведённой из той же точки к прямой.
• Из точки к прямой можно провести единственный перпендикуляр.