§ 5. Геометрические построения

Определения и обозначения

Задача на построение — задача, в которой требуется построить фигуру заданными инструментами и доказать, что она обладает нужными свойствами. Иначе говоря, нужно не просто нарисовать похожую фигуру, а описать выполнимые действия и объяснить результат. Это помогает отличить точное решение от рисунка на глаз.

Линейка — инструмент, которым проводят прямую через две заданные точки; деления на ней при построении не используют. Значит, линейкой нельзя измерять длину или откладывать отрезок нужного размера. Она нужна, чтобы соединять уже известные точки прямой.

Циркуль — инструмент для построения окружности с заданным центром и радиусом, равным выбранному отрезку. Чтобы перенести длину, одну ножку циркуля ставят в начальную точку, а расстояние между ножками сохраняют. Циркуль позволяет задавать расстояния без измерения линейкой.

Основные построения — простейшие построительные действия, из которых складывают решения более сложных задач. К ним относят, например, проведение прямой и окружности, а также получение точек пересечения. Умение выполнять эти действия позволяет строить новые фигуры по заданным условиям.

Как это устроено

При классическом построении используют только линейку без делений и циркуль. Линейка задаёт прямую через две точки, а циркуль — окружность с центром в известной точке и нужным радиусом. Новую точку можно получить, например, там, где пересеклись две окружности или окружность и прямая. Такое ограничение делает построение точным: положение точки определяется заданными линиями, а не оценкой на глаз.

Решение — это последовательность действий, а не один итоговый рисунок. Каждый шаг должен опираться на точки, прямые и окружности, которые уже построены, иначе действие нельзя выполнить указанными инструментами. Например, нельзя написать «отложим отрезок длиной 5 см по линейке»: длину нужно перенести циркулем с подходящего отрезка. Последовательный план позволяет другому человеку повторить построение.

После построения требуется обоснование. Оно связывает выполненные действия с условием задачи: например, объясняет, почему найденная точка находится на заданном расстоянии от двух других точек. Для этого используют известные свойства фигур и равенство треугольников. Без такого объяснения нельзя убедиться, что результат подходит, даже если рисунок выглядит убедительно.

Чтобы найти середину отрезка AB, проводят окружности одинакового радиуса с центрами A и B; радиус выбирают больше половины AB, чтобы окружности пересеклись в двух точках. Обе точки пересечения равноудалены от A и B, потому что лежат на окружностях равных радиусов. Соединив их, получают прямую, перпендикулярную AB и проходящую через его середину: это серединный перпендикуляр. Следовательно, точка пересечения этой прямой с AB делит отрезок пополам.

При построении треугольника по трём сторонам одну сторону принимают за основание. Из концов основания проводят окружности радиусами, равными двум оставшимся сторонам: искомая третья вершина должна лежать на обеих окружностях. Их пересечение задаёт точку с нужными расстояниями до концов основания. Если окружности не пересекаются, построить такой треугольник нельзя; заранее проверить возможность помогает неравенство треугольника.

Основные построения и их обоснование

Таблица помогает увидеть общую схему: сначала определите, какие расстояния или углы должны быть заданы, затем выберите инструмент для их переноса. В последнем столбце найдите свойство, которое подтверждает правильность результата. Для каждого построения важно также проверить, что указанные окружности действительно пересекаются.

Разбор задач

Постройте середину отрезка AB с помощью линейки и циркуля.

Искомая точка должна быть одинаково удалена от A и B. Поэтому построим две точки, расстояния от которых до A и B равны, и проведём через них прямую. Её пересечение с AB и будет серединой отрезка.

1. Поставьте циркуль в A и проведите дугу окружности радиусом больше половины AB. Не меняя раствора циркуля, проведите такую же дугу с центром B.
2. Обозначьте точки пересечения дуг C и D. С помощью линейки проведите прямую CD и отметьте её пересечение с AB буквой M.
3. Поскольку AC = BC и AD = BD, точки C и D равноудалены от концов AB. Треугольники ACD и BCD равны по трём сторонам, поэтому CD делит AB пополам.

Ответ: точка M — середина отрезка AB.

Постройте треугольник, равный данному, используя построение равного отрезка и равного угла.

Достаточно перенести одну сторону и два угла, прилежащих к ней. Тогда у нового треугольника будут равны соответствующая сторона и углы при её концах. Эти данные определяют треугольник с точностью до его расположения на плоскости.

1. Постройте отрезок A′B′, равный выбранной стороне AB данного треугольника, перенеся её длину циркулем.
2. В точке A′ постройте угол, равный углу A, а в точке B′ — угол, равный углу B. Лучи направьте по одну сторону от A′B′, чтобы они пересеклись.
3. Обозначьте точку пересечения лучей C′. По стороне и двум прилежащим углам треугольник A′B′C′ равен исходному по соответствующему признаку равенства треугольников.

Ответ: треугольник A′B′C′ равен данному.

Постройте треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см и определите, возможно ли такое построение.

Сначала проверим условие существования: 4 + 5 больше 6, 4 + 6 больше 5 и 5 + 6 больше 4. Значит, такой треугольник существует. Основанием удобно выбрать сторону длиной 6 см, а две другие длины задать радиусами окружностей.

1. Постройте отрезок AB длиной 6 см. В геометрическом построении это можно сделать, перенеся циркулем отрезок заданной длины.
2. Проведите окружность с центром A и радиусом 4 см, затем окружность с центром B и радиусом 5 см. Эти окружности пересекутся, поскольку заданные длины удовлетворяют неравенству треугольника.
3. Выберите точку пересечения C и соедините её с A и B. Тогда AC = 4 см, BC = 5 см, AB = 6 см, так как C лежит на обеих окружностях.

Ответ: построение возможно; получен треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см.

Типичные ошибки

Считать рисунок достаточным обоснованием — значит полагаться на внешний вид, который может обмануть. Так происходит, потому что нарисованные от руки линии не всегда точно показывают длины и углы. Проверяйте себя: можете ли вы объяснить каждый шаг свойствами фигур, а не словами «видно, что»?

Использовать деления линейки для измерения длины нельзя: при классическом построении линейкой проводят прямые, а длину переносят циркулем. Ошибку допускают, потому что на обычной линейке есть шкала. Перед решением проверьте, что все действия можно повторить линейкой без делений и циркулем.

Если при построении треугольника выбрать радиус окружности, не равный заданной стороне, расстояние до будущей вершины окажется неправильным. Иногда путают, какой стороне соответствует окружность с центром в конкретной вершине. Сверьте радиус каждой окружности с нужной стороной и убедитесь, что она измеряется от правильного конца основания.

Нельзя пропускать проверку возможности построения: три произвольных отрезка не всегда образуют треугольник. Если сумма двух сторон равна третьей или меньше неё, окружности не дадут нужной вершины. До начала построения проверьте, что сумма любых двух заданных сторон больше третьей.

Связь с другими темами

Для построений нужны умения проводить прямую через две точки, строить окружность и находить пересечения прямых и окружностей. Обоснование опирается на свойства равнобедренного треугольника, серединного перпендикуляра и признаки равенства треугольников. Эти знания объясняют, почему построенные точки отвечают условию, а не просто оказываются в подходящем месте на рисунке. Позже тот же навык пригодится при изучении геометрических мест точек, доказательстве теорем и решении более сложных задач на построение.

Что запомнить

• Для классических геометрических построений используют линейку без делений и циркуль.
• Каждое построение состоит из выполнимых шагов.
• Результат построения нужно обосновать.
• Одинаковые радиусы окружностей задают точки, равноудалённые от их центров.
• Треугольник по трём сторонам строят с помощью пересечения двух окружностей.
• Для существования треугольника сумма любых двух его сторон должна быть больше третьей.