"Геометрия", Погорелов А.В.
Геометрическое место точек — это все точки, обладающие одним заданным свойством, и только они. Такие множества помогают превращать условия геометрической задачи в линии или фигуры: например, окружность, серединный перпендикуляр или биссектрису. Чтобы найти решение, строят подходящие геометрические места и ищут их общие точки. Каждую найденную точку затем проверяют по исходным условиям: пересечение линий ещё не всегда означает, что задача решена.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Геометрическое место точек — множество всех точек, обладающих заданным свойством, и только таких точек. Иначе говоря, оно не должно содержать ни одной лишней точки и не должно пропускать ни одной подходящей. Это понятие нужно, чтобы описывать одним объектом сразу все возможные положения точки.
Геометрическое место точек, равноудалённых от двух заданных точек, — серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему их. Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка и образует с ним прямой угол. Он помогает найти все точки, которые могут быть одинаково удалены от двух концов.
Геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, — биссектрисы этого угла. Биссектриса делит угол на два равных угла; речь идёт о внутренней и внешней биссектрисах. Это описание позволяет заменить условие о равных расстояниях построением линий.
Окружность — геометрическое место точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром, а заданное расстояние — радиусом. Поэтому условие «точка удалена от A на 3 см» задаёт окружность с центром A и радиусом 3 см.
Для полного описания геометрического места проверяют два утверждения. Сначала доказывают, что любая точка на предложенной линии или фигуре имеет нужное свойство. Затем доказывают обратное: если точка обладает свойством, то она обязательно лежит на этой линии или фигуре. Только вместе эти рассуждения показывают, что найдены все подходящие точки и нет лишних.
Возьмём точку на серединном перпендикуляре к отрезку AB и обозначим середину отрезка через M. Треугольники, составленные этой точкой, концом отрезка и точкой M, прямоугольные: перпендикуляр проходит через M. Их стороны AM и MB равны, а отрезок от точки на перпендикуляре до M у них общий; поэтому треугольники равны, а расстояния до A и B одинаковы.
Теперь пусть точка равноудалена от A и B. Соединим её с серединой M отрезка AB. В треугольниках с вершинами в этой точке, A, M и в этой точке, B, M равны расстояния до A и B, стороны AM и MB, а также общая сторона от точки до M. Треугольники равны, значит, углы при M равны; поскольку они смежные, каждый прямой. Следовательно, точка лежит на перпендикуляре к AB через M.
Расстояние от точки до стороны угла измеряют длиной перпендикуляра, опущенного на эту сторону. Если расстояния до двух сторон равны, перпендикуляры и отрезки сторон образуют прямоугольные треугольники. В них гипотенуза от вершины угла до рассматриваемой точки общая, а расстояния между сторонами равны, поэтому треугольники равны; равными оказываются и углы с вершиной угла. Значит, точка лежит на биссектрисе; учитываются обе биссектрисы.
Метод геометрических мест превращает каждое условие задачи в знакомую линию или фигуру. Например, расстояние до заданной точки задаёт окружность, а равные расстояния до концов отрезка — серединный перпендикуляр. Построив такие места, находят их общие точки: каждая из них одновременно удовлетворяет нескольким условиям. Однако пересечение может содержать точки, которые не подходят из-за дополнительных требований задачи, поэтому в конце необходима проверка.
| Условие для точки | Геометрическое место | Что задано |
|---|---|---|
| Точка находится на заданном расстоянии от одной точки | Окружность с центром в заданной точке | Расстояние |
| Точка равноудалена от концов отрезка | Серединный перпендикуляр к отрезку | Отрезок |
| Точка равноудалена от сторон угла | Биссектрисы угла | Угол |
Чтобы пользоваться таблицей, сначала выдели в условии ключевое свойство точки, а затем найди соответствующую ему строку. Столбец «Что задано» подскажет, какой объект нужен для построения: например, сам отрезок или угол. Если в задаче несколько условий, для каждого выбирают своё геометрическое место.
Задача 1. Построить точку, равноудалённую от концов данного отрезка AB. Условие требует, чтобы расстояния от искомой точки до A и B были равны. Значит, нужно построить геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка AB.
Построй серединный перпендикуляр к AB: найди середину отрезка и проведи через неё перпендикуляр к AB. Эта линия и есть геометрическое место, соответствующее условию.
Выбери на ней любую точку P. По свойству серединного перпендикуляра расстояния PA и PB равны, поэтому P подходит.
Ответ: любая точка серединного перпендикуляра к AB; если нужно указать одну точку, выбери любую на этой прямой.
Задача 2. Построить точку, которая находится на расстоянии 3 см от A и на расстоянии 4 см от B. Первое условие задаёт окружность с центром A, второе — окружность с центром B. Чтобы точка подходила одновременно, она должна принадлежать обеим окружностям, то есть быть их общей точкой.
С помощью циркуля построй окружность с центром A и радиусом 3 см. Все её точки находятся на нужном расстоянии от A.
Построй окружность с центром B и радиусом 4 см. Её точки удалены от B на 4 см.
Найди точки пересечения окружностей. Каждая такая точка одновременно лежит на обеих окружностях, поэтому удовлетворяет обоим условиям.
Ответ: общие точки построенных окружностей. Их число зависит от расположения A и B и может быть равно нулю, одному или двум.
Задача 3. Дан отрезок AB. Построить вершину C треугольника ABC, если расстояние от C до прямой AB равно h, а медиана, проведённая из C, равна m. Медиана идёт к середине противоположной стороны, поэтому её конец — середина AB. Значит, первое условие задаёт две прямые на расстоянии h от AB, а второе — окружность с центром в середине AB и радиусом m.
Построй две прямые, параллельные AB и отстоящие от неё на h: по одной с каждой стороны от AB. Точка C на любой из этих прямых будет находиться от AB на заданном расстоянии.
Найди середину M отрезка AB и построй окружность с центром M и радиусом m. Если CM = m, медиана из C имеет нужную длину.
Отметь пересечения построенных прямых с окружностью. Проверь, что каждая точка не лежит на AB и действительно образует допустимый треугольник ABC.
Ответ: подходящие точки пересечения параллельных прямых с окружностью; неподходящие по дополнительным условиям задачи исключают.
Доказать только, что точки найденной линии подходят, и забыть обратное. Так часто поступают, потому что первое направление кажется достаточным: найденные точки действительно обладают нужным свойством. Но могут существовать и другие подходящие точки за пределами линии. Проверь себя вопросом: доказано ли, что всякая точка с заданным свойством лежит на найденном месте?
Назвать серединным перпендикуляром любой перпендикуляр к отрезку. Путаница возникает из-за того, что в названии заметно слово «перпендикуляр», а условие о середине можно не учесть. Если прямая проходит не через середину отрезка, её точки в общем случае не равноудалены от концов. Проверь, что сначала найдена середина и перпендикуляр проведён именно через неё.
Учесть только одну биссектрису угла. Обычно вспоминают внутреннюю биссектрису, которая делит сам угол пополам, и не учитывают внешнюю. Но точки на внешней биссектрисе тоже равноудалены от сторон угла. Укажи обе биссектрисы, а затем проверь, какие из их точек подходят конкретной задаче.
Считать все точки пересечения решениями задачи. Пересечения удовлетворяют условиям, использованным при построении, но могут нарушать дополнительные ограничения — например, точка может не образовывать требуемый треугольник. Это забывают, когда воспринимают построение как завершённый ответ. Подставь каждую найденную точку в исходное условие и отсеки неподходящие.
Перед изучением метода полезно знать, что такое окружность, биссектриса, серединный перпендикуляр и расстояние от точки до прямой. Обоснования опираются на свойства равнобедренных и прямоугольных треугольников: их нужно уметь распознавать и сравнивать. Для построений пригодятся циркуль и линейка. Метод помогает решать задачи на построение, а позднее — находить места точек, заданные более сложными условиями.
Что называют геометрическим местом точек?
Это множество всех точек, обладающих заданным свойством, и только таких точек. Например, все точки на расстоянии 3 см от точки A образуют окружность с центром A и радиусом 3 см.
Почему для описания геометрического места нужно доказать два утверждения?
Первое утверждение показывает, что каждая точка предложенного места обладает нужным свойством. Второе доказывает обратное: любая точка с этим свойством обязательно входит в место. Без второго доказательства можно пропустить подходящие точки.
Как построить геометрическое место точек, равноудалённых от концов отрезка?
Нужно построить серединный перпендикуляр к отрезку: провести через его середину прямую, перпендикулярную отрезку. Все точки этой прямой равноудалены от концов отрезка, и всякая точка, равноудалённая от концов, лежит на этой прямой.
Почему геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла, состоит из биссектрис?
Расстояние от точки до стороны — это длина перпендикуляра, опущенного на эту сторону. Если расстояния до сторон равны, получаются прямоугольные треугольники с общей гипотенузой и равными соответствующими катетами, поэтому точка лежит на биссектрисе. Учитываются обе биссектрисы, внутренний и внешний лучи.
Как найти решения задачи с помощью метода геометрических мест?
Каждое условие заменяют геометрическим местом: например, окружностью или прямой. Затем строят эти места и находят их общие точки. В конце проверяют каждую точку по всем условиям и ограничениям задачи.
49. Метод геометрических мест
