"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
У каждого треугольника есть описанная и вписанная окружности. Первая проходит через три вершины, а вторая касается трёх сторон. Чтобы построить их, нужно найти специальные точки: центр описанной окружности — пересечение серединных перпендикуляров, а центр вписанной — пересечение биссектрис. Положение первого центра зависит от вида треугольника, второй всегда находится внутри.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Описанная окружность треугольника — окружность, проходящая через все три его вершины. Значит, каждая вершина лежит на этой окружности, а расстояния от её центра до вершин равны. Это определение помогает отличить описанную окружность от других окружностей, которые могут располагаться рядом с треугольником.
Центр описанной окружности — точка, равноудалённая от всех вершин треугольника. Если обозначить вершины A, B и C, то расстояния от центра O до них одинаковы: OA = OB = OC. Это свойство позволяет находить центр с помощью построений, а затем проводить окружность через любую вершину.
Вписанная окружность треугольника — окружность, касающаяся всех его сторон. Касаться означает иметь с каждой стороной ровно одну общую точку. Такое определение нужно, чтобы не перепутать окружность, лежащую внутри треугольника, с любой другой окружностью внутри него.
Центр вписанной окружности — точка, равноудалённая от всех сторон треугольника. Расстояние от центра до стороны измеряют по перпендикуляру, то есть по отрезку, образующему с ней прямой угол. Именно это расстояние становится радиусом вписанной окружности и помогает её построить.
Рассмотрим сторону AB и точку на её серединном перпендикуляре. Серединный перпендикуляр проходит через середину AB под прямым углом, поэтому образуются два прямоугольных треугольника с равными половинами стороны и общей высотой. По равенству этих частей расстояния от точки до A и B одинаковы. Поэтому центр окружности, проходящей через A и B, должен лежать на серединном перпендикуляре к AB.
Проведём серединные перпендикуляры к двум сторонам треугольника. Они пересекутся в точке O, которая равноудалена от концов каждой из этих сторон, то есть от всех трёх вершин. Значит, окружность с центром O и радиусом, например, OA пройдёт также через B и C. Поскольку OA = OB = OC, точка O лежит и на серединном перпендикуляре к третьей стороне: так объясняется, почему все три линии проходят через одну точку.
Теперь рассмотрим угол с вершиной A и точку на его биссектрисе. Биссектриса делит угол на две равные части; если из точки провести перпендикуляры к сторонам угла, получатся два прямоугольных треугольника. У них общая гипотенуза, равные углы при A и прямые углы, поэтому треугольники равны, а перпендикуляры имеют одинаковую длину. Следовательно, любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла.
Пересечение биссектрис двух углов равноудалено от сторон каждого угла, а значит, от всех трёх сторон треугольника. Опустим из этой точки перпендикуляр на одну сторону и возьмём его длину за радиус. Такой же длины будут перпендикуляры к двум другим сторонам, поэтому окружность дойдёт до каждой из них и коснётся её. Точка касания находится там, где радиус перпендикулярен стороне.
У остроугольного треугольника серединные перпендикуляры пересекаются внутри, у прямоугольного — на середине гипотенузы, а у тупоугольного — вне треугольника. Положение меняется из-за расположения середин сторон и углов треугольника, но сама точка пересечения остаётся равноудалённой от вершин. Биссектрисы же всех трёх внутренних углов встречаются внутри треугольника. Поэтому центр вписанной окружности всегда внутренний, каким бы ни был вид треугольника.
| Свойство | Описанная окружность | Вписанная окружность |
|---|---|---|
| С чем связана | Проходит через три вершины треугольника | Касается трёх сторон треугольника |
| Как найти центр | Пересечение серединных перпендикуляров к сторонам | Пересечение биссектрис углов |
| Что равноудалено от центра | Вершины треугольника | Стороны треугольника |
| Положение центра | Зависит от вида треугольника | Всегда внутри треугольника |
Сначала определи, что требуется найти: окружность, проходящую через вершины, или окружность, касающуюся сторон. Затем пользуйся соответствующей строкой таблицы: для первой нужны серединные перпендикуляры, для второй — биссектрисы. Строка о положении центра помогает проверить, соответствует ли результат виду треугольника.
Нужно найти центр окружности, одинаково удалённый от всех трёх вершин. Каждая пара вершин соединена стороной, а равноудалённые от её концов точки лежат на серединном перпендикуляре. Поэтому достаточно построить два таких перпендикуляра и отметить их пересечение.
Выбери две стороны треугольника и найди середину каждой из них. Через середину каждой стороны проведи прямую под прямым углом к этой стороне. Получатся два серединных перпендикуляра.
Обозначь точку пересечения перпендикуляров буквой O. Она равноудалена от концов обеих выбранных сторон, поэтому расстояния от O до всех вершин равны. Это и есть искомый центр окружности.
Измерь расстояние от O до любой вершины и установи на циркуле такой радиус. Проведи окружность с центром O. Все три вершины окажутся на ней.
Ответ: искомая окружность имеет центр в точке пересечения двух серединных перпендикуляров и проходит через все вершины треугольника.
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится в середине гипотенузы. Поэтому радиус равен половине гипотенузы, и сначала нужно её найти. Гипотенуза — сторона напротив прямого угла, а её длину можно вычислить по теореме Пифагора.
Обозначь гипотенузу через c. По теореме Пифагора c² = 6² + 8². Значит, c² = 36 + 64 = 100, откуда c = 10 см.
Радиус описанной окружности равен расстоянию от середины гипотенузы до любой вершины. Это половина гипотенузы, поэтому R = 10 : 2 = 5 см.
Проверь результат: центр должен быть на гипотенузе, на одинаковом расстоянии от её концов. Половина гипотенузы действительно равна 5 см.
Ответ: 5 см.
Центр вписанной окружности должен быть равноудалён от сторон, поэтому его находят на биссектрисах углов. Радиус — это перпендикуляр от найденного центра до стороны, а не отрезок до вершины. Если все стороны находятся на расстоянии, равном радиусу, окружность касается каждой из них.
Проведи биссектрисы двух углов и обозначь их пересечение I. Точка I равноудалена от сторон каждого из этих углов. Следовательно, она равноудалена от всех трёх сторон треугольника.
Из точки I опусти перпендикуляр на любую сторону и обозначь длину этого отрезка r. Установи на циркуле радиус r и проведи окружность с центром I. Расстояние от I до каждой из сторон равно r.
У каждой стороны окружность имеет общую точку, где радиус перпендикулярен стороне. Такой отрезок даёт кратчайшее расстояние от центра до прямой, поэтому окружность не пересекает эту сторону в двух точках, а касается её.
Ответ: окружность с центром в пересечении биссектрис и радиусом, равным расстоянию от центра до стороны, является вписанной.
Для поиска центра описанной окружности иногда проводят биссектрисы. Их пересечение задаёт центр вписанной окружности, потому что биссектрисы связаны с расстояниями до сторон, а не до вершин. Проверь себя вопросом: окружность должна пройти через вершины или коснуться сторон? Для окружности через вершины нужны серединные перпендикуляры.
Ошибочно считать, что центр описанной окружности всегда внутри треугольника. Так бывает только у остроугольного: у прямоугольного центра лежит на середине гипотенузы, а у тупоугольного он находится снаружи. Проверяй вид треугольника и не переноси правило для остроугольного на остальные.
Радиус вписанной окружности иногда принимают за расстояние от центра до вершины. Но центр равноудалён от сторон, а не от вершин; радиусом служит перпендикуляр к стороне. Чтобы проверить выбор, убедись, что отрезок образует с этой стороной прямой угол.
Одной биссектрисы или одного серединного перпендикуляра недостаточно, чтобы однозначно найти центр. Каждая такая прямая задаёт множество возможных точек, а нужная точка определяется пересечением двух прямых. Проведи две линии одного вида и проверь, что их пересечение соответствует искомому центру.
Для этой темы понадобятся свойства серединного перпендикуляра и биссектрисы угла, а также умение проводить перпендикуляр к прямой. Равенство треугольников помогает объяснить, почему точки на этих линиях равноудалены от концов отрезка или сторон угла. Полезны и свойства равнобедренного треугольника, например равенство его боковых сторон. Позже эти построения пригодятся в задачах о треугольниках, касательных и радиусах окружностей.
Сколько окружностей можно описать около треугольника?
Только одну. Её центр — единственная точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от центра до любой вершины.
Почему серединные перпендикуляры к сторонам пересекаются в одной точке?
Два серединных перпендикуляра пересекаются в точке, равноудалённой от трёх вершин. Поэтому эта точка лежит и на серединном перпендикуляре к третьей стороне.
Как построить центр вписанной окружности?
Провести биссектрисы двух углов треугольника и отметить их точку пересечения. Она равноудалена от всех трёх сторон.
Может ли центр описанной окружности находиться вне треугольника?
Да, у тупоугольного треугольника он находится вне треугольника. У прямоугольного центр лежит на середине гипотенузы, а у остроугольного — внутри.
Почему радиус вписанной окружности перпендикулярен стороне?
Радиус проводят от центра окружности к точке касания со стороной. Перпендикуляр из центра к прямой показывает кратчайшее расстояние до неё, а при касании именно в этой точке окружность соприкасается с прямой.
§ 21. Описанная и вписанная окружности треугольника
