"Геометрия", Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С./ Под ред. Подольского В.Е.
Углы треугольника связаны простым правилом: сколько бы ни были велики его стороны и как бы ни выглядел треугольник, сумма трёх внутренних углов равна 180°. Это свойство помогает находить неизвестные углы, определять вид треугольника и решать задачи с внешними углами. Чтобы понять теорему, достаточно вспомнить, как ведут себя накрест лежащие углы при параллельных прямых. Разберём доказательство и научимся применять правило на примерах.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Угол треугольника — угол, образованный двумя сторонами треугольника. У треугольника три угла, каждый расположен при своей вершине; их называют углами треугольника. Обычно их обозначают буквами вершин, например ∠A, ∠B и ∠C. Такое обозначение помогает понять, какой именно угол дан или требуется найти.
Сумма углов треугольника — сумма величин всех трёх его внутренних углов. Теорема утверждает: сумма углов любого треугольника равна 180°, то есть ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Это правило связывает углы между собой и позволяет находить неизвестный, даже если известны только два других. Оно действует для треугольников любой формы.
Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника. Чтобы его получить, нужно продолжить одну из сторон за вершину; продолженная сторона и другая сторона образуют внешний угол. При каждой вершине можно получить два внешних угла, равных между собой как вертикальные. В задачах обычно рассматривают один из них.
Теорема о внешнем угле утверждает, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Например, внешний угол при вершине C равен ∠A + ∠B. Теорема позволяет находить угол, когда известен внешний и один из удалённых внутренних углов. Слово «удалённые» здесь означает, что эти углы не имеют общей стороны со внешним.
Чтобы доказать теорему о сумме углов, через вершину C проводят прямую, параллельную стороне AB. Получаются две пары накрест лежащих углов: угол между этой прямой и AC равен углу A, а угол между прямой и BC равен углу B. Это следует из свойства параллельных прямых и секущей. Вместе эти два угла и угол C составляют развёрнутый угол, то есть 180°, поэтому ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Если известны два угла, третий можно найти, потому что все три вместе обязательно дают 180°. Сначала складывают известные величины, а затем вычитают их сумму из 180°. Например, при углах 48° и 67° неизвестный угол равен 180° − (48° + 67°). Вычитание одного угла вместо суммы двух нарушило бы установленное равенство.
Внешний угол и соседний с ним внутренний — смежные углы: у них одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга. Поэтому они вместе образуют прямую линию и в сумме дают 180°. Сумма трёх внутренних углов треугольника тоже равна 180°, так что эти суммы можно приравнять. Если из каждой убрать внутренний угол при той же вершине, остаётся равенство внешнего угла сумме двух остальных внутренних углов.
Пусть внешний угол при вершине C обозначен γ′, а внутренние углы треугольника — ∠A, ∠B и ∠C. Из смежности следует γ′ + ∠C = 180°, а по теореме о сумме углов ∠A + ∠B + ∠C = 180°. В обеих частях равенств есть ∠C, поэтому после вычитания получаем γ′ = ∠A + ∠B. Так объясняется теорема о внешнем угле, а не только запоминается её формулировка.
Сумма 180° помогает определить вид треугольника по его углам и проверить вычисления. Если один угол равен 90°, два других должны вместе составлять 90°; если один угол больше 90°, два оставшихся в сумме меньше 90°. Два прямых или два тупых угла невозможны, потому что уже их сумма достигла бы или превысила 180°, не оставляя места для третьего. После решения сложите найденные углы: если сумма не равна 180°, проверьте вычисления.
| Вид треугольника | Условие для углов | Дополнительное свойство |
|---|---|---|
| Остроугольный | Все три угла меньше 90° | Каждый угол острый |
| Прямоугольный | Один угол равен 90° | Сумма двух остальных углов равна 90° |
| Тупоугольный | Один угол больше 90° | Два остальных угла меньше 90° |
Чтобы определить вид треугольника, сравните его углы с 90°. Если один угол прямой или тупой, два других должны быть острыми, поскольку общая сумма равна 180°. Таблица также помогает проверить, может ли предложенный набор углов принадлежать одному треугольнику.
Задача 1. В треугольнике два угла равны 48° и 67°. Найдите третий угол. Сначала используем теорему: три внутренних угла вместе дают 180°. Значит, нужно узнать, сколько градусов остаётся после вычитания двух известных углов.
Ответ: третий угол равен 65°. Проверка: 48° + 67° + 65° = 180°, значит, результат согласуется с теоремой.
Задача 2. Внешний угол треугольника равен 125°, а один из внутренних углов, не смежных с ним, равен 52°. Найдите другой такой угол. По теореме внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Поэтому неизвестный угол можно найти вычитанием.
Ответ: другой внутренний угол равен 73°. Проверка: 52° + 73° = 125°, то есть сумма удалённых углов равна внешнему.
Задача 3. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите их величины и определите вид треугольника. Отношение показывает, что углы можно представить как 2x, 3x и 4x. Найдём одну часть x из общей суммы, а затем сравним каждый угол с 90°.
Ответ: 40°, 60° и 80°; треугольник остроугольный. Проверка: 40° + 60° + 80° = 180°.
Ошибочно считать, что сумма 180° получается только у остроугольного треугольника. Такое впечатление может возникнуть, если рассматривать лишь привычные примеры, но теорема верна для любого треугольника — остроугольного, прямоугольного и тупоугольного. Проверяйте себя по самому условию теоремы: она не ограничивает форму треугольника. Сумма трёх внутренних углов всегда равна 180°.
При поиске третьего угла иногда вычитают из 180° лишь один известный угол. Так происходит, если забыть, что 180° — это сумма сразу всех трёх углов, а не двух. Сначала сложите оба известных угла и только потом вычитайте их сумму из 180°. В конце сложите все три значения: итог должен быть 180°.
Внешним углом иногда называют любой угол рядом с треугольником. Но он должен быть смежным с внутренним углом при вершине и образовываться стороной и продолжением другой стороны. Чтобы проверить, верно ли выбран угол, найдите общую вершину и общую сторону с внутренним углом. Две другие стороны должны продолжать одна другую, образуя прямую.
В теореме о внешнем угле нельзя складывать его с соседним внутренним и говорить, что их сумма равна двум удалённым углам. Внешний угол равен именно сумме двух внутренних углов, не смежных с ним; со смежным внутренним он даёт 180°. Ошибку легко заметить по смыслу равенств: первое следует из теоремы о внешнем угле, второе — из свойства смежных углов. Различайте эти две пары углов.
Для доказательства суммы углов нужны знания о градусной мере угла, смежных и вертикальных углах, а также о накрест лежащих углах при параллельных прямых и секущей. Эти свойства помогают понять, почему углы при основании треугольника можно перенести к одной вершине. Сама теорема пригодится при решении задач на равнобедренные и равносторонние треугольники. Её также используют, когда доказывают свойства многоугольников.
Почему сумма углов треугольника всегда равна 180°?
Через одну вершину треугольника можно провести прямую, параллельную противоположной стороне. Накрест лежащие углы при этих параллельных прямых равны соответствующим углам треугольника, а вместе с третьим углом они образуют развёрнутый угол в 180°.
Может ли в треугольнике быть два прямых угла?
Нет. Два прямых угла уже дают в сумме 180°, и для третьего угла места не остаётся. У любого треугольника все три угла должны иметь положительную величину.
Как найти третий угол, если известны два других?
Сложите величины двух известных углов и вычтите полученную сумму из 180°. Например, если углы равны 48° и 67°, третий равен 180° − (48° + 67°) = 65°.
Как отличить внешний угол треугольника от внутреннего?
Внутренний угол находится внутри треугольника между двумя его сторонами. Внешний угол образуется, когда одну сторону продолжают за вершину: он смежен с внутренним углом при этой вершине.
Чему равен внешний угол треугольника?
Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, которые не смежны с ним. Вместе с соседним внутренним углом он также составляет 180°.
§ 16. Сумма углов треугольника
