"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
У любого треугольника сумма трёх внутренних углов равна 180°. Это правило помогает находить неизвестные углы, если известны два других, и проверять, могут ли заданные величины быть углами одного треугольника. Если продолжить сторону, получится внешний угол: он связан и со смежным внутренним углом, и с двумя углами, расположенными в других вершинах. Теорему о сумме углов доказывают с помощью параллельной прямой.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма углов треугольника — результат сложения трёх его внутренних углов; в евклидовой геометрии она равна 180°. Внутренние углы находятся внутри треугольника, по одному при каждой вершине. Это правило используют, чтобы находить неизвестный угол, когда известны два других.
Внешний угол треугольника — угол, смежный с одним из внутренних углов. Его получают, продолжив одну из сторон за вершину треугольника. Внешний угол нужен для вычислений, когда величины углов при двух других вершинах известны.
Внутренний угол, не смежный с данным внешним, — один из двух углов треугольника, расположенных в вершинах, отличных от вершины внешнего угла. Такие углы называют несмежными по отношению к нему. Это название помогает отличить их от угла, который вместе с внешним образует развернутый угол.
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называют боковыми, а третью сторону — основанием. Углы, лежащие при основании, равны, поэтому знание одного из них помогает найти второй.
Чтобы доказать теорему о сумме углов, выберем вершину треугольника и проведём через неё прямую, параллельную противоположной стороне. Получатся три угла, расположенные рядом по одну сторону от этой прямой: угол треугольника при выбранной вершине и два угла между прямой и боковыми сторонами. Такая конструкция нужна, чтобы связать углы при разных вершинах.
Боковые стороны треугольника пересекают параллельные прямые и потому являются секущими. Накрест лежащие углы при каждой секущей равны: один из них находится у вершины треугольника, другой — у проведённой прямой. Значит, два угла, образованные прямой, равны двум углам треугольника при остальных вершинах. Здесь используются свойства параллельных прямых.
Три угла, расположенные рядом на проведённой прямой, вместе составляют развернутый угол. Развернутый угол равен 180°, поэтому сумма этих трёх углов тоже равна 180°. Поскольку два из них равны углам треугольника, сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Это и есть доказательство теоремы.
Теперь продолжим сторону треугольника за вершину. Внутренний угол при этой вершине и получившийся внешний угол смежные, то есть имеют общую сторону, а две другие стороны образуют прямую. Их сумма равна 180°. С другой стороны, все три внутренних угла треугольника также дают 180°; если из этой суммы убрать угол, смежный с внешним, останется сумма двух других углов. Следовательно, внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов.
Эти равенства позволяют находить неизвестные величины. Если известны два внутренних угла, третий получают вычитанием их суммы из 180°; если известны два угла, несмежных с внешним, их складывают. Каждый внутренний угол меньше 180°: два оставшихся угла положительны, поэтому на него приходится меньше всей суммы. Это также удобная проверка ответа.
| Объект или свойство | Соотношение | Что позволяет найти |
|---|---|---|
| Сумма внутренних углов | α + β + γ = 180° | Неизвестный внутренний угол по двум известным |
| Внешний угол и смежный с ним внутренний угол | ε + α = 180° | Один из этих углов, если известен другой |
| Внешний угол и два несмежных внутренних угла | ε = β + γ | Внешний угол или один несмежный угол |
| Ограничение на величину внутреннего угла | 0° < α < 180° | Проверить, может ли величина быть углом треугольника |
Выберите в таблице строку, которая связывает известные величины с искомой, и запишите соответствующее равенство. Если ищете внутренний угол, дополнительно проверьте, что он положителен и меньше 180°. В обозначениях ε — внешний угол, а α, β и γ — внутренние.
Задача 1. В треугольнике два угла равны 47° и 68°. Найдите третий угол. Сначала используем сумму внутренних углов: она должна составить 180°. Поэтому из 180° вычтем сумму известных углов.
Ответ: 65°. Проверка показывает, что найденная величина подходит к сумме углов треугольника.
Задача 2. Внешний угол треугольника равен 125°, один из несмежных внутренних углов — 54°. Найдите другой несмежный угол. Внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних, значит, чтобы найти неизвестный, достаточно вычесть известный угол из внешнего.
Ответ: 71°. Проверка: 54° + 71° = 125°, как и требует теорема о внешнем угле.
Задача 3. Углы треугольника относятся как 2:3:4. Найдите каждый угол. Отношение показывает, что углы можно выразить через одну общую величину: 2x, 3x и 4x. Их сумма должна равняться 180°.
Ответ: 40°, 60° и 80°. Все три значения удовлетворяют условию и теореме о сумме углов.
Иногда складывают только два угла и называют результат суммой углов треугольника. Так делают, если не замечают, что внутренних углов три. Запишите обозначения для всех трёх вершин и проверьте, что в равенстве присутствуют α, β и γ.
Внешний угол могут перепутать с внутренним углом в другой вершине. Но внешний угол образует развернутый угол именно со смежным внутренним углом при той же вершине. Чтобы проверить себя, найдите общую сторону и убедитесь, что две остальные стороны лежат на одной прямой.
Бывает, что внешний угол считают равным только одному несмежному внутреннему углу. Причина — смешение теоремы о внешнем угле с равенством смежных углов. Вспомните, что внешний угол равен сумме двух несмежных углов, и подставьте их оба в равенство.
Ещё одна ошибка — принять найденные числа без проверки. Один из углов может оказаться отрицательным или не дать нужную сумму с остальными. После вычислений убедитесь, что все углы положительны, каждый меньше 180°, а сумма внутренних углов равна 180°.
Для доказательства и решения задач нужны понятия развернутого и смежных углов, а также свойства параллельных прямых при секущей. Если эти правила знакомы, становится понятным, откуда берётся равенство 180°, а не только как пользоваться готовой формулой. Теорема пригодится при вычислении углов треугольников и четырёхугольников. Она также связана со свойствами равнобедренного треугольника: равным сторонам в нём противолежат равные углы при основании.
Почему сумма углов любого треугольника равна 180°?
Через вершину треугольника проводят прямую, параллельную противоположной стороне. Углы при двух других вершинах равны углам, образованным этой прямой с боковыми сторонами, потому что это накрест лежащие углы. Вместе с углом при вершине они составляют развернутый угол, равный 180°.
Как доказать теорему о сумме углов треугольника?
Проведите через одну вершину прямую, параллельную противоположной стороне. По свойству накрест лежащих углов два угла треугольника равны углам между этой прямой и его сторонами. Эти углы вместе с третьим углом треугольника образуют развернутый угол, значит, их сумма равна 180°.
Что называют внешним углом треугольника?
Внешний угол — это угол, смежный с одним из внутренних углов треугольника. Его получают, продолжая одну из сторон за вершину. Внешний и смежный с ним внутренний углы в сумме дают 180°.
Как найти внешний угол, если известны два внутренних угла?
Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, которые не расположены при его вершине. Поэтому сложите величины этих двух углов. Например, если они равны 40° и 70°, внешний угол равен 110°.
Может ли внутренний угол треугольника быть равен 180°?
Нет. Внутренний угол треугольника положителен, а два остальных угла тоже больше нуля. Поскольку сумма всех трёх углов равна 180°, каждый из них меньше 180°.
§ 1. Сумма углов треугольника
