29. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Определения и обозначения

Секущая — прямая, которая пересекает две другие прямые в разных точках. Вокруг точек пересечения возникают пары углов, и их расположение помогает сравнивать прямые. Например, секущая может пересечь прямые a и b, а запись a ∥ b означает, что эти прямые параллельны.

Соответствующие углы занимают одинаковое положение относительно двух прямых и секущей: один угол находится у первого пересечения, другой — у второго. Это название помогает быстро найти нужную пару, не ориентируясь на то, как чертёж повёрнут.

Накрест лежащие внутренние углы лежат между двумя прямыми, но по разные стороны секущей. Односторонние внутренние углы тоже находятся между прямыми, однако лежат по одну сторону секущей. Различие в расположении нужно, чтобы не перепутать правило: для первой пары используют равенство, для второй — сумму 180°.

Как это устроено

Если секущая пересекает две параллельные прямые, соответствующие углы равны. Причина связана с тем, что параллельные прямые имеют одно направление и не сближаются, а секущая пересекает их под одинаковым наклоном. Поэтому углы, расположенные у двух пересечений в одинаковом порядке, совпадают по величине.

Накрест лежащие внутренние углы при параллельных прямых тоже равны. Чтобы увидеть почему, можно сопоставить один из них с соответствующим углом у второго пересечения: эти углы равны по свойству параллельных прямых. А накрест лежащий угол равен ему как вертикальный угол, то есть угол, лежащий напротив другого при пересечении прямых.

Односторонние внутренние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°. Один из них равен углу, который расположен рядом со вторым у того же пересечения. Эти соседние углы образуют развёрнутый угол, поэтому их сумма составляет 180°. Значит, такая же сумма получается у односторонней пары.

Все три свойства можно применять и наоборот, чтобы доказать параллельность прямых. Если соответствующие углы равны или накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Если сумма односторонних внутренних углов равна 180°, прямые тоже параллельны: иначе описанные свойства для параллельных прямых не выполнялись бы.

Эти рассуждения удобно строить через уже знакомые свойства углов. Вертикальные углы равны, а смежные углы в сумме составляют 180°. Сначала находят угол, связанный с нужной парой вертикальностью или смежностью, а затем сравнивают углы у двух пересечений. Так можно обосновать свойства, не полагаясь только на внешний вид чертежа.

Свойства углов при параллельных прямых и секущей

Сначала определите по расположению, какая пара углов дана, и только потом выбирайте правило из таблицы. Для вычисления неизвестного угла используйте свойство параллельных прямых, а для доказательства параллельности — обратное утверждение. Не забывайте: равенство подходит для первых двух пар, а для односторонней пары нужна сумма 180°.

Разбор задач

Задача. Две прямые пересечены секущей. Накрест лежащие внутренние углы равны 3x + 15° и 5x − 25°. Найдите x и величины этих углов, а затем сделайте вывод о прямых. Условие задачи сообщает равенство углов, но не говорит заранее, что прямые параллельны.

1. Назовём углы накрест лежащими внутренними: они расположены между прямыми по разные стороны секущей. По обратной теореме, если такие углы равны, прямые параллельны. Значит, их величины можно приравнять.
2. Запишем уравнение: 3x + 15 = 5x − 25. Перенесём неизвестные в одну сторону, а числа — в другую: 40 = 2x, поэтому x = 20.
3. Подставим x в выражение для первого угла: 3 · 20 + 15 = 75°. Проверим по второму: 5 · 20 − 25 = 75°. Оба угла действительно равны, значит вычисление согласуется с условием.
4. Сделаем геометрический вывод: равные накрест лежащие внутренние углы дают основание применить обратную теорему. Следовательно, прямые параллельны.

Ответ: x = 20, углы равны 75°, прямые параллельны. Проверка подстановкой полезна: если два найденных значения углов не совпали бы, значит, в уравнении или вычислениях допущена ошибка. В другой задаче, где даны односторонние внутренние углы, следовало бы составить уравнение с их суммой, равной 180°.

Типичные ошибки

• Путают пары углов. Ученик может принять односторонние углы за накрест лежащие, потому что обе пары расположены между прямыми. Ошибка возникает, если не заметить, по какую сторону секущей лежат углы. Проверьте расположение: по разные стороны — накрест лежащие, по одну — односторонние.

• Для любой пары записывают равенство. Это верно для соответствующих и накрест лежащих углов, но не для односторонних внутренних: их сумма равна 180°. Перед составлением уравнения назовите пару и сверьте правило, чтобы не выбрать неподходящее действие.

• Считают прямые параллельными только по виду чертежа. На рисунке линии могут казаться параллельными из-за масштаба, хотя этого не следует из условия. Для проверки найдите равные соответствующие или накрест лежащие углы либо односторонние углы с суммой 180°. Только такое обоснование позволяет применить обратную теорему.

Связь с другими темами

При решении задач о секущей нужны свойства вертикальных и смежных углов: первые равны, а сумма вторых равна 180°. Они помогают объяснить, почему возникают равные углы и почему односторонние углы дополняют друг друга до развёрнутого угла. Уравнения позволяют находить неизвестные величины углов, а обратные теоремы связывают вычисления с доказательством параллельности. Поэтому тема объединяет геометрические рассуждения и алгебраические вычисления.

Что запомнить

• При параллельных прямых соответствующие углы равны.
• При параллельных прямых накрест лежащие внутренние углы равны.
• Односторонние внутренние углы при параллельных прямых в сумме дают 180°.
• Обратные утверждения помогают доказать параллельность прямых по углам.
• Перед вычислениями определите расположение углов относительно секущей.