4.4 Прямоугольный треугольник

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — треугольник, один из углов которого равен 90°. На чертеже прямой угол обычно отмечают маленьким квадратиком в его вершине. Такая отметка сразу показывает, какие стороны образуют прямой угол, и помогает не перепутать углы при решении задачи.

Катеты — две стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол. Они сходятся в вершине, где стоит отметка прямого угла, поэтому на чертеже их легко определить по этой вершине. Названия сторон нужны, чтобы описывать свойства треугольника и точно указывать, о какой стороне идёт речь.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. Она не образует прямой угол вместе с катетами и соединяет две вершины острых углов. Чтобы отличить гипотенузу от катетов, найди прямой угол и посмотри на противоположную ему сторону.

Медиана, проведённая к гипотенузе, — отрезок от вершины прямого угла до середины гипотенузы. Середину стороны определяют по тому, что она делит сторону на две равные части. Это определение помогает отличать медиану от других отрезков, проведённых внутри треугольника.

Как это устроено

Сумма углов любого треугольника равна 180°. В прямоугольном треугольнике один угол уже занимает 90°, поэтому на два оставшихся угла вместе остаётся 180° − 90° = 90°. Эти два угла острые: каждый меньше 90°, а вместе они составляют прямой угол. Значит, если один острый угол известен, второй можно найти вычитанием из 90°.

Гипотенуза лежит напротив угла 90°, а каждый катет — напротив одного из острых углов. В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона. Поскольку прямой угол больше любого острого, напротив него находится самая длинная сторона — гипотенуза. Поэтому она длиннее каждого катета.

Обозначим гипотенузу буквами B и C, а её середину — точкой M. Отрезок от M до вершины прямого угла можно представить как радиус окружности с центром M, проходящей через B и C: точка M равноудалена от концов отрезка BC и от вершины прямого угла. Это следует из свойства середины гипотенузы: расстояния от неё до всех трёх вершин треугольника равны. Так как M делит гипотенузу пополам, расстояние от M до каждой вершины равно половине гипотенузы.

Медиана к гипотенузе соединяет её середину M с вершиной прямого угла. По предыдущему свойству расстояние от M до этой вершины такое же, как от M до конца гипотенузы. А последнее расстояние равно половине гипотенузы, потому что M — её середина. Значит, медиана к гипотенузе тоже равна половине гипотенузы.

Рассмотрим треугольник ABC с прямым углом A и углом B, равным 30°. Катет AC лежит напротив угла 30°. Продлим AC за точку C до точки D так, чтобы CD = AC, и соединим B и D. Треугольники ABC и DBC равны: у них общий катет BC, равные катеты AC и CD, а углы при C прямые. Поэтому AB = BD, а углы ABC и CBD равны по 30°.

В треугольнике ABD углы ABD складываются из двух углов по 30°, то есть равны 60°. Поскольку AB = BD, треугольник ABD равнобедренный, и два угла при основании равны. Их сумма составляет 180° − 60° = 120°, значит, каждый из них равен 60°. Получается, все углы ABD равны 60°, поэтому его стороны равны и AD = AB. При этом AD состоит из двух отрезков AC, так что AD = 2AC. Следовательно, гипотенуза AB вдвое больше катета AC, лежащего напротив угла 30°.

Основные свойства прямоугольного треугольника

Сначала найди в условии нужную величину: угол, сторону или медиану. Затем выбери строку таблицы, которая связывает её с известными данными. Проверь, что свойство подходит к ситуации: например, правило про угол 30° применяют только при наличии такого угла.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольном треугольнике один острый угол равен 37°. Найдём второй острый угол. Поскольку в треугольнике есть прямой угол, два оставшихся угла вместе равны 90°. Значит, второй угол дополняет 37° до 90°.

1. Записываем сумму острых углов: 90°.
2. Вычитаем известный угол: 90° − 37° = 53°.
3. Проверяем: 37° + 53° = 90°.

Ответ: 53°. Проверка суммы помогает заметить ошибку, например если по привычке вычесть 37° из 180°.

Задача 2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 14 см. Найдём медиану, проведённую к ней. Медиана из вершины прямого угла соединяет эту вершину с серединой гипотенузы, а её длина по свойству равна половине гипотенузы. Поэтому достаточно разделить 14 см на 2.

1. Записываем длину гипотенузы: 14 см.
2. Находим половину: 14 : 2 = 7 см.
3. Указываем единицу измерения, как в условии.

Ответ: 7 см. Здесь не требуется знать длины катетов: свойство медианы связано непосредственно с гипотенузой.

Задача 3. Катет напротив угла 30° равен 6 см. Найдём гипотенузу и медиану к ней. Сначала применяем свойство угла 30°: этот катет составляет половину гипотенузы. Затем используем свойство медианы, которая составляет половину уже найденной гипотенузы.

1. Обозначаем гипотенузу через c. По условию 6 см = c : 2.
2. Умножаем 6 см на 2: c = 12 см.
3. Делим гипотенузу пополам: 12 : 2 = 6 см — длина медианы.

Ответ: гипотенуза равна 12 см, медиана к ней — 6 см. Проверка: катет 6 см действительно вдвое меньше гипотенузы 12 см.

Типичные ошибки

Называть гипотенузой просто самую длинную или на глаз наиболее наклонную сторону — ненадёжно. Такую ошибку допускают, когда определяют сторону по форме рисунка, а не по прямому углу. Найди угол с отметкой 90° и назови гипотенузой только противоположную ему сторону.

Считать, что оба катета равны половине гипотенузы, нельзя. Это правило относится не ко всем катетам, а только к катету, лежащему напротив угла 30°. Перед применением свойства проверь, есть ли в условии угол 30° и о каком именно катете говорится.

Медиану к гипотенузе иногда путают с высотой. Медиана обязательно приходит в середину стороны, а высота проводится перпендикулярно стороне; эти определения описывают разные признаки отрезка. Проверь, делит ли конец отрезка гипотенузу на две равные части: если да, это медиана.

Чтобы найти второй острый угол, иногда вычитают известный угол из 180°. Но прямой угол уже равен 90°, поэтому острым углам вместе остаётся только 90°. Для проверки сложи оба найденных острых угла: сумма должна быть ровно 90°.

Связь с другими темами

Для изучения прямоугольного треугольника нужны знания о сумме углов треугольника и о прямых, острых и тупых углах. Именно сумма 180° помогает получить правило о сумме острых углов, а определения углов позволяют распознавать прямой угол на чертеже. Если эти понятия знакомы, можно уверенно определять катеты и гипотенузу.

Свойства прямоугольного треугольника пригодятся в задачах на углы, длины сторон и медианы, а также при доказательстве геометрических утверждений. Они позволяют находить неизвестные величины без измерений на чертеже. Позже такие приёмы станут полезны при изучении других свойств треугольников.

Что запомнить

• Гипотенуза лежит напротив прямого угла.
• Два острых угла прямоугольного треугольника в сумме равны 90°.
• Гипотенуза длиннее каждого катета.
• Медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.
• Катет напротив угла 30° равен половине гипотенузы.