4.5 Признаки равенства прямоугольных треугольников

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — треугольник, один угол которого прямой, то есть равен 90°, а два остальных — острые. Например, если ∠C = 90°, то ABC — прямоугольный треугольник. Это определение помогает сразу выделить особый угол и использовать его при сравнении треугольников.

Катеты — стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. Если прямой угол находится при вершине C, то катеты — AC и BC. По ним можно применить один из признаков равенства прямоугольных треугольников.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла; она длиннее каждого катета. В треугольнике ABC с прямым углом C гипотенуза — AB. Чтобы не перепутать стороны, сначала найди прямой угол, а затем противоположную ему сторону.

Признак равенства прямоугольных треугольников — условие, по которому можно установить равенство двух таких треугольников. Для этого не обязательно заранее знать все стороны и углы. Достаточно сравнить определённые пары элементов, учитывая, что прямые углы уже равны.

Как это устроено

Для произвольных треугольников обычно сравнивают три элемента по одному из общих признаков равенства. У прямоугольных треугольников один элемент уже известен: оба угла равны 90°. Поэтому достаточно сравнить ещё две подходящие пары элементов, а остальные свойства можно получить из признаков или суммы углов.

Если равны два катета одного прямоугольного треугольника и два катета другого, то можно использовать общий признак равенства по двум сторонам и углу между ними. Угол между катетами в каждом треугольнике прямой, значит, он тоже равен. Получаются две равные стороны и равный угол между ними, а этого достаточно для равенства треугольников.

Равенство гипотенузы и катета также определяет прямоугольный треугольник однозначно, хотя прямой угол не заключён между этими сторонами. Если гипотенуза и один катет равны соответственно, то второй катет в обоих треугольниках тоже окажется одинаковым. Это можно обосновать теоремой Пифагора: квадрат второго катета равен разности квадратов гипотенузы и известного катета. Значит, треугольники равны по двум катетам.

Если равны гипотенузы и по одному острому углу, то равны и вторые острые углы. В каждом прямоугольном треугольнике сумма острых углов составляет 90°, поэтому второй угол однозначно определяется первым. Теперь известны равные гипотенузы и равные углы напротив них, а также равные острые углы; этого достаточно, чтобы применить общий признак равенства по стороне и двум прилежащим углам.

Равенство катета и острого угла тоже позволяет установить равенство прямоугольных треугольников. Вместе с прямым углом это даёт два равных угла и сторону; в зависимости от положения катета он прилежит к известному острому углу или лежит напротив него. В обоих случаях можно применить общий признак равенства по стороне и двум углам. После доказательства запиши соответствие вершин в одном порядке, чтобы верно указать равные стороны и углы.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Сначала определи, какие из сравниваемых сторон являются катетами, а какая — гипотенузой. Затем найди в таблице строку с нужной парой равных элементов. В последнем столбце указано, почему этой пары достаточно для вывода о равенстве.

Разбор задач

Задача 1

Даны прямоугольные треугольники ABC и A₁B₁C₁: ∠C = ∠C₁ = 90°, AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁. Докажите, что треугольники равны. Стороны AC и BC образуют угол C, а стороны A₁C₁ и B₁C₁ образуют угол C₁. Значит, данные стороны — катеты, а углы между ними равны.

1. Выпишем равные элементы: AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁.
2. Углы между этими сторонами равны: ∠ACB = ∠A₁C₁B₁ = 90°.
3. Применим признак равенства по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁.

Задача 2

Гипотенузы AB и A₁B₁ прямоугольных треугольников равны, и катеты AC и A₁C₁ тоже равны. Нужно определить соответствующие углы и стороны. Поскольку прямые углы расположены при C и C₁, стороны AB и A₁B₁ действительно являются гипотенузами, а AC и A₁C₁ — катетами.

1. Сопоставим вершины прямых углов: C соответствует C₁; гипотенузы AB и A₁B₁ дают соответствие A ↔ A₁ и B ↔ B₁.
2. По равенству гипотенузы и катета применим признак равенства прямоугольных треугольников: △ABC = △A₁B₁C₁.
3. Из равенства треугольников получаем BC = B₁C₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁ = 90°.

Ответ: треугольники равны; все перечисленные соответствующие стороны и углы равны.

Задача 3

В прямоугольных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ равны гипотенузы AB и A₁B₁, а острые углы BAC и B₁A₁C₁ равны. Требуется доказать равенство треугольников и определить неизвестные элементы по данным одного из них. Прямые углы находятся при C и C₁, а заданные острые углы — при A и A₁.

1. По условию AB = A₁B₁ и ∠BAC = ∠B₁A₁C₁; оба треугольника прямоугольные.
2. Применим признак по гипотенузе и острому углу: △ABC = △A₁B₁C₁.
3. Сопоставим вершины A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁. Поэтому BC = B₁C₁, AC = A₁C₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁ = 90°.
4. Если в первом треугольнике известны числовые значения сторон или углов, перенесём их на соответствующие элементы второго. Например, ∠B = 90° − ∠A, и тогда ∠B₁ имеет то же значение.

Ответ: треугольники равны; соответствующие стороны и углы совпадают, а числовые значения неизвестных элементов берутся у соответствующих элементов известного треугольника.

Типичные ошибки

Гипотенузой иногда называют просто самую длинную сторону любого треугольника. Это неверно: гипотенуза бывает только в прямоугольном треугольнике и лежит напротив прямого угла. Проверь себя: найди угол 90° и определи противоположную ему сторону.

При записи признака можно перепутать катет с гипотенузой, особенно если треугольник изображён непривычно. Сторона, противоположная прямому углу, всегда гипотенуза, а две стороны, образующие его, — катеты. Проверяй положение сторон по углу, а не по их наклону на чертеже.

Иногда считают, что достаточно равенства одной стороны. Но общая длина катета или гипотенузы сама по себе не задаёт весь треугольник: при ней могут быть разные остальные элементы. Проверь, что указаны ещё один элемент и подходящий признак равенства.

После доказательства равенства могут неверно сопоставить вершины и записать неподходящие равенства сторон или углов. Такое случается, если ориентироваться только на внешний вид чертежа, а не на данные и порядок записи треугольников. Отметь одинаковые прямые углы и заданные равные элементы, затем проверь соответствие каждой вершины.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны признаки равенства произвольных треугольников, умение различать острые, прямые и тупые углы и знание элементов прямоугольного треугольника. Общие признаки помогают объяснить, почему выбранной пары равных элементов достаточно. Свойство суммы углов треугольника позволяет находить второй острый угол.

Признаки равенства применяют, чтобы обосновывать равенство сторон и углов, находить неизвестные элементы и строить геометрические доказательства. Они также полезны в задачах на построение и при изучении подобия фигур: равные треугольники имеют равные соответствующие элементы и служат основой для сравнения фигур.

Что запомнить

• В каждом прямоугольном треугольнике один угол равен 90°.
• Катеты образуют прямой угол, а гипотенуза лежит напротив него.
• Прямоугольные треугольники равны по двум катетам.
• Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету.
• Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу.
• Прямоугольные треугольники равны по катету и острому углу.
• После доказательства равенства треугольников равны все их соответствующие стороны и углы.