"Геометрия", Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др.
Прямоугольные треугольники имеют один общий признак — прямой угол, поэтому для доказательства их равенства достаточно сравнить не все элементы. Достаточно установить равенство гипотенузы и острого угла, катета и острого угла или гипотенузы и катета. Эти признаки помогают быстро доказывать равенство фигур, находить неизвестные стороны и углы, а также решать задачи по чертежам.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой, то есть равен 90°. Два других угла называются острыми. Наличие прямого угла позволяет применять специальные признаки равенства.
Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. Это самая длинная сторона такого треугольника. Чтобы не перепутать стороны, сначала находят прямой угол, а затем смотрят на сторону напротив него.
Катет — сторона прямоугольного треугольника, образующая прямой угол. В каждой прямоугольной фигуре два катета, и они соединяют вершину прямого угла с другими вершинами. По катетам и гипотенузе определяют, какие элементы нужно сравнить.
Признак равенства прямоугольных треугольников — достаточное условие, позволяющее установить равенство двух таких треугольников. Если нужные элементы совпадают, все соответствующие стороны и углы треугольников также совпадают. Это помогает доказывать утверждения без измерения каждой стороны и каждого угла.
Если в двух прямоугольных треугольниках равны гипотенузы и по одному острому углу, их прямые углы тоже равны: каждый из них равен 90°. Значит, известная гипотенуза является равной стороной, а прямой и данный острый углы — двумя прилежащими к ней углами. Поэтому треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.
Пусть равны катеты и острые углы двух прямоугольных треугольников. К каждому данному катету прилегает прямой угол, а второй прилежащий угол — это указанный острый угол. Таким образом, совпадают сторона и два угла, прилежащие к ней. По общему признаку равенства треугольников фигуры равны.
При равенстве гипотенузы и катета прямое применение признака «сторона и два угла» невозможно: углы могут быть не даны. Но второй катет определяется однозначно по теореме Пифагора: если гипотенуза c, а катет a, то другой катет b удовлетворяет равенству b² = c² − a². Значит, у треугольников равны все три стороны, и их можно сравнить по трём сторонам.
В прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают 90°, потому что третий угол уже равен 90°. Поэтому равенство одного острого угла автоматически означает равенство второго: каждый из них дополняет известный угол до 90°. Это позволяет использовать данный острый угол вместе с прямым углом в доказательстве.
| Данные для сравнения | Почему их достаточно | На что сослаться |
|---|---|---|
| Гипотенуза и острый угол | Прямые углы равны, поэтому известны сторона и два прилежащих угла. | Признак равенства по стороне и двум прилежащим углам. |
| Катет и острый угол | Катет, прямой угол и данный острый угол образуют нужную комбинацию. | Признак равенства по стороне и двум прилежащим углам. |
| Гипотенуза и катет | По теореме Пифагора находятся вторые катеты, после чего равны три стороны. | Признак равенства по трём сторонам. |
Пользуясь таблицей, сначала определите, какие элементы указаны на чертеже или в условии. Затем проверьте, являются ли стороны соответствующими и где находятся данные углы. В конце запишите название подходящего признака, а не только итог о равенстве треугольников.
В двух прямоугольных треугольниках равны гипотенузы и по одному острому углу. Требуется доказать равенство треугольников. Обозначим эти треугольники ABC и A₁B₁C₁, причём углы C и C₁ прямые.
Ответ: ABC = A₁B₁C₁ по стороне и двум прилежащим углам.
В двух прямоугольных треугольниках равны катет и прилежащий к нему острый угол. Нужно понять, какие элементы образуют признак. Прямой угол находится между двумя катетами, поэтому он прилегает к выбранному катету.
Ответ: треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам.
В прямоугольных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы C и C₁ прямые, AB = A₁B₁, AC = A₁C₁. Здесь AB и A₁B₁ — гипотенузы, а AC и A₁C₁ — катеты. Нужно доказать равенство и указать соответствующие элементы.
Ответ: треугольники равны по гипотенузе и катету; соответствующие стороны и углы равны.
Катет иногда называют гипотенузой, потому что обе стороны выглядят одинаково на чертеже. Но гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла, а катеты образуют его. Проверьте себя: найдите дугу прямого угла и проведите взгляд к противоположной стороне.
Некоторые считают, что для признака по гипотенузе и катету достаточно равенства двух катетов. Это другая комбинация данных, а гипотенуза в указанном признаке обязательна. Перед записью признака подпишите на чертеже сторону напротив прямого угла.
Ошибка возникает и при сравнении несоответствующих элементов: например, сторона одного треугольника сопоставляется с другой стороной второго. Сначала установите пары вершин по прямым углам и известным сторонам. Затем проверяйте, что равные стороны занимают одинаковое положение.
Недостаточно написать только «острые углы равны», если выбран признак с углами. Нужно отдельно указать, что прямые углы равны, поскольку оба имеют величину 90°. Полное доказательство содержит равные элементы и название применённого признака.
До изучения признаков нужно знать свойства прямоугольного треугольника, сумму углов треугольника и теорему Пифагора. Именно сумма углов объясняет связь двух острых углов, а теорема Пифагора помогает обосновать признак по гипотенузе и катету.
Тема опирается на общие признаки равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам. Прямоугольные треугольники дают удобный специальный случай, потому что их прямые углы уже известны и равны.
Эти признаки пригодятся при доказательстве геометрических утверждений, нахождении неизвестных сторон и углов, а также в задачах на построение. Умение быстро определить соответствующие элементы сокращает решение и делает доказательство точным.
Какие признаки равенства есть у прямоугольных треугольников?
Треугольники равны по гипотенузе и острому углу, по катету и острому углу, а также по гипотенузе и катету. В каждом случае прямые углы уже равны как углы двух прямоугольных треугольников.
Почему для равенства достаточно знать гипотенузу и один острый угол?
Прямые углы обоих треугольников равны. Поэтому известная гипотенуза и один острый угол дают сторону и два прилежащих к ней угла, а этого достаточно для равенства треугольников.
Можно ли доказать равенство по двум катетам?
Да, можно: два катета и прямой угол между ними дают равенство по двум сторонам и углу между ними. Однако это не тот признак, который обычно формулируют как признак по гипотенузе и катету.
Как определить гипотенузу на чертеже?
Сначала найдите прямой угол. Сторона напротив него — гипотенуза, а две стороны, образующие этот угол, — катеты.
Что писать в доказательстве после того, как найдены равные элементы?
Нужно перечислить равные элементы и назвать признак, который подходит. Затем записать вывод: «Следовательно, треугольники равны», а после этого использовать равенство соответствующих сторон или углов.
35. Признаки равенства прямоугольных треугольников
