§ 57. Признаки равенства прямоугольных треугольников

Определения и обозначения

Прямоугольный треугольник — треугольник, у которого один угол прямой; два других угла острые. Если ∠C = 90°, то треугольник ABC прямоугольный именно при вершине C. Это обозначение помогает сразу увидеть, какие стороны будут катетами, а какая — гипотенузой.

Гипотенуза — сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла. В треугольнике ABC с прямым углом C гипотенузой будет AB. Её важно отличать от катетов, потому что один из признаков сравнивает именно гипотенузу и катет.

Катеты — стороны прямоугольного треугольника, образующие прямой угол. Если ∠C = 90°, то катеты — AC и BC. Такое название сразу показывает, какие две стороны можно сравнить по признаку равенства «по двум катетам».

Признаки равенства прямоугольных треугольников — условия, по которым можно установить их равенство, не сравнивая все стороны и углы. Достаточно найти подходящие равные элементы в двух треугольниках. Признак позволяет заключить, что совпадают все соответствующие стороны и углы.

Как это устроено

В каждом прямоугольном треугольнике один угол уже известен: он равен 90°. Поэтому при сравнении треугольников не требуется отдельно доказывать равенство этих двух углов. Достаточно установить равенство подходящих сторон и острых углов, после чего можно применить общие признаки равенства треугольников или специальный признак для прямоугольных. Удобно сначала отметить прямые углы и определить гипотенузы.

Если равны гипотенуза и острый угол двух прямоугольных треугольников, равны и их вторые острые углы. Причина в том, что сумма острых углов каждого прямоугольного треугольника равна 90°: когда один угол в паре совпал, второй тоже вынужденно совпадает. Теперь известны сторона и два прилежащих к ней угла, поэтому можно применить общий признак равенства по стороне и двум прилежащим углам. Так специальный случай сводится к уже знакомому правилу.

При равенстве катета и острого угла рассуждение устроено похоже. Прямой угол известен заранее, а второй острый угол находится из суммы острых углов, равной 90°. После этого есть равная сторона и равные углы, прилежащие к ней, поэтому применим общий признак по стороне и двум углам. Важно, чтобы данный катет и данный острый угол были правильно сопоставлены в обоих треугольниках.

Если равны оба катета, то равны две стороны и угол между ними. Угол между катетами в каждом треугольнике прямой, значит, эти углы также равны. Получаем общий признак равенства по двум сторонам и углу между ними. Здесь не нужно дополнительно сравнивать гипотенузы: их равенство будет следствием равенства треугольников.

Равенство гипотенузы и катета называют отдельным признаком для прямоугольных треугольников. Чтобы понять его смысл, можно представить, что длины двух сторон заданы, а прямой угол уже фиксирован: такая пара элементов определяет прямоугольный треугольник однозначно. Поэтому дополнительные сведения об острых углах не требуются. Признак применяют только к прямоугольным треугольникам, в которых гипотенузу и соответствующий катет можно уверенно определить.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

В таблице собраны условия и вывод, который можно сделать по каждому признаку. Сначала проверь, что оба треугольника прямоугольные, затем определи соответствующие стороны и углы. Если данные совпали с одной строкой таблицы, можно записать, что треугольники равны по этому признаку.

Разбор задач

Задача 1. В прямоугольных треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы C и C₁ прямые, AC = A₁C₁, BC = B₁C₁. Докажем равенство треугольников. Сначала определим, какие стороны сравниваются: обе пары — катеты, так как они образуют прямые углы C и C₁. Значит, данные точно подходят к признаку по двум катетам.

1. ∠C = ∠C₁ = 90°, поэтому ABC и A₁B₁C₁ — прямоугольные треугольники.
2. AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁; это равенство двух соответствующих катетов.
3. По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам заключаем: △ABC = △A₁B₁C₁.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁ по двум катетам. Задача 2. У тех же прямоугольных треугольников AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁. Здесь важно не принять AB за катет: сторона AB лежит напротив прямого угла C, а значит, это гипотенуза. Сторона AC — катет, поэтому данные соответствуют признаку по гипотенузе и катету.

1. Поскольку ∠C = ∠C₁ = 90°, стороны AB и A₁B₁ — гипотенузы, а AC и A₁C₁ — катеты.
2. По условию AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁, то есть равны гипотенузы и один соответствующий катет.
3. По признаку равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету получаем △ABC = △A₁B₁C₁.

Ответ: треугольники равны по гипотенузе и катету. Задача 3. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы C и C₁ прямые, AB = A₁B₁ и ∠A = ∠A₁. Требуется доказать равенство и назвать другие равные элементы. Стороны AB и A₁B₁ — гипотенузы, а данные углы — острые; это сразу указывает нужный признак.

1. Установим соответствие вершин: C ↔ C₁, A ↔ A₁, значит, B ↔ B₁. Равные стороны AB и A₁B₁ и равные углы A и A₁ показывают, что гипотенузы и соответствующие острые углы совпадают.
2. По признаку по гипотенузе и острому углу △ABC = △A₁B₁C₁.
3. Из равенства треугольников следует равенство остальных соответствующих элементов: AC = A₁C₁, BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁.

Ответ: треугольники равны по гипотенузе и острому углу; перечисленные стороны и углы равны как соответствующие элементы.

Типичные ошибки

Гипотенузу иногда путают с катетом или называют так любую длинную сторону. Это происходит, если смотреть только на длину, а не на прямой угол. Проверь себя: гипотенуза всегда лежит напротив прямого угла и является самой длинной стороной прямоугольного треугольника.

Ещё одна ошибка — считать, что равенства одного катета достаточно для вывода о равенстве треугольников. Катет задаёт только одну сторону, а второй треугольник может иметь другую форму и другие размеры. Чтобы применить признак, найди дополнительное условие: равенство второго катета, гипотенузы или острого угла.

Признак по гипотенузе и катету иногда применяют к треугольникам, у которых нет прямого угла. Причина — забывают, что это специальное правило, основанное на свойствах прямоугольных треугольников. Перед применением явно проверь, что оба угла прямые; если это не дано и не доказано, данный признак использовать нельзя.

При записи равенства можно неверно сопоставить стороны и вершины разных треугольников. Тогда, например, равный катет сравнивают с гипотенузой, хотя буквы в условии похожи. Составь пары соответствующих вершин по прямым углам и данным элементам, а затем проверь, что каждая названная сторона соединяет нужные вершины.

Связь с другими темами

Для работы с признаками нужно знать определение прямоугольного треугольника, названия его сторон и общие признаки равенства треугольников. Общие правила помогают объяснить, почему равенство некоторых элементов приводит к равенству фигур. Новые признаки используют то, что один угол в прямоугольном треугольнике заранее равен 90°.

Доказанное равенство треугольников помогает устанавливать равенство их соответствующих сторон и углов. Поэтому признаки применяются в задачах на доказательство равенства отрезков и углов, а также при построениях и вычислении элементов прямоугольного треугольника. Часто главный шаг задачи — заметить два треугольника и найти для них подходящий признак.

Что запомнить

• Гипотенуза лежит напротив прямого угла; две другие стороны — катеты.
• Прямоугольные треугольники равны по двум катетам.
• Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету.
• Прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу.
• Прямоугольные треугольники равны по катету и острому углу.
• При применении признака нужно сопоставить соответствующие элементы треугольников.