§ 56. Признак равенства треугольников по двум сторонами углу, лежащему против большей из них

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, которые при наложении полностью совмещаются; их соответствующие стороны и углы равны. Иными словами, у них одинаковая форма и размер, хотя расположены они могут по-разному. Понятие нужно, чтобы после доказательства равенства одного треугольника другому находить длины и углы.

Соответственные элементы — стороны и углы двух треугольников, занимающие одинаковое положение при сопоставлении вершин. Например, если вершинам A, B, C соответствуют A₁, B₁, C₁, то стороне AB соответствует A₁B₁, а углу C — угол C₁. Такое сопоставление помогает не перепутать, какие именно элементы должны быть равны.

Угол, лежащий против стороны, — угол треугольника, не имеющий с этой стороной общей вершины. В треугольнике ABC против стороны AB лежит угол C, потому что вершина C не входит в отрезок AB. Это определение нужно, чтобы верно выбрать угол для признака и не спутать его с углом, примыкающим к стороне.

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу против большей стороны — условие, по которому можно заключить, что два треугольника равны. Для этого требуются две пары равных сторон и равные углы, расположенные против больших сторон в этих парах. Проверка каждого условия нужна, чтобы вывод о равенстве был обоснован.

Как это устроено

Признак формулируется так: если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого, а углы, лежащие против больших из этих сторон, равны, то треугольники равны. Слова «соответственно равны» означают, что стороны сопоставлены попарно, а не просто найдены две одинаковые длины. Угол тоже должен соответствовать углу против такой же, большей стороны. Только при этих условиях можно сделать вывод о равенстве треугольников.

Уточнение о большей стороне необходимо, потому что двух сторон и произвольно выбранного угла обычно недостаточно для однозначного построения. Если угол задан против меньшей стороны, третья вершина может оказаться в разных положениях, и получатся разные треугольники. Поэтому одинаковые две стороны и одинаковый такой угол ещё не обязательно задают одну форму. Условие о большей стороне устраняет эту неоднозначность и делает признак надёжным.

Идея обоснования связана с построением. Сначала строят одну из заданных сторон, а затем с учётом второй стороны и угла против большей определяют положение оставшейся вершины. При выполнении условия это положение задаётся однозначно, поэтому для каждого набора данных получается только один треугольник. Если соответствующие исходные данные у двух треугольников равны, их построения совпадают, а значит, совпадают и сами треугольники.

Пусть в треугольниках ABC и A₁B₁C₁ известны равные пары AB = A₁B₁ и AC = A₁C₁. Сначала сравнивают AB с AC и A₁B₁ с A₁C₁, чтобы определить большие стороны внутри каждого треугольника. Если AB и A₁B₁ больше, то против них лежат углы C и C₁, и именно их равенство требуется для признака. Нельзя выбирать угол по тому, какая сторона кажется большей при сравнении разных треугольников: сравнение делают в каждом треугольнике отдельно.

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу против большей стороны

Таблица помогает пройти проверку по порядку: сопоставьте две пары сторон, найдите большие стороны и проверьте равенство углов против них. В строке о сравнении сторон укажите, какая сторона больше в каждом треугольнике. Если выполнены все условия, в итоговой строке можно записать, что треугольники равны.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ известно, что AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, AB > AC и ∠C = ∠C₁. Докажите равенство треугольников. Сначала проверим, что условие о большем отрезке действительно связано с указанными углами. Затем применим признак.

1. Из AB > AC следует, что AB — большая из двух заданных сторон треугольника ABC. В другом треугольнике A₁B₁ = AB и A₁C₁ = AC, поэтому A₁B₁ > A₁C₁.
2. Угол C лежит против AB, а угол C₁ — против A₁B₁. По условию эти углы равны, как и две пары соответствующих сторон.
3. Все условия признака выполнены, значит, △ABC = △A₁B₁C₁.

Ответ: треугольники равны.

Задача 2. В треугольниках KLM и K₁L₁M₁ равны KL и K₁L₁, а также KM и K₁M₁. Известно, что KL > KM и ∠M = ∠M₁. Можно ли заключить, что треугольники равны? Здесь особенно важно не перепутать сторону, против которой лежит угол M. Если она окажется большей из заданных сторон, признак подходит.

1. Угол M лежит против KL, поскольку сторона KL не имеет общей вершины с M. Угол M₁ аналогично лежит против K₁L₁.
2. По условию KL > KM, а равенства KL = K₁L₁ и KM = K₁M₁ дают K₁L₁ > K₁M₁. Значит, равные углы лежат против больших сторон.
3. Две пары сторон и пара нужных углов равны. По признаку △KLM = △K₁L₁M₁.

Ответ: да, можно заключить, что треугольники равны.

Задача 3. В треугольниках ABC и DEF равны стороны AB и DE, AC и DF, причём AB > AC и DE > DF. Углы C и F равны. Докажите, что BC = EF. Сначала нужно доказать равенство целых треугольников: тогда искомые отрезки окажутся соответствующими сторонами. Сторона AB соответствует DE, а AC соответствует DF.

1. Так как AB > AC, сторона AB — большая из двух заданных сторон △ABC. В △DEF большая сторона — DE, поскольку DE > DF.
2. Угол C лежит против AB, угол F — против DE. Они равны по условию, а обе пары заданных сторон равны.
3. По признаку △ABC = △DEF. При сопоставлении вершин A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F стороне BC соответствует EF, поэтому BC = EF.

Ответ: BC = EF.

Типичные ошибки

Ошибка — применить признак, не проверив, против какой стороны лежит известный угол. Так происходит, когда ученик замечает равенство углов и сторон, но не устанавливает их взаимное положение. Для проверки назови сторону, не имеющую общей вершины с углом, а затем сравни её с другой заданной стороной.

Нельзя сравнивать заданные стороны одного треугольника со сторонами другого вместо сравнения внутри каждой фигуры. Иногда это делают, потому что стороны записаны рядом в условии, но так нельзя определить, какая сторона больше в конкретном треугольнике. Проверь отдельно, например, верно ли AB > AC и верно ли соответствующее неравенство для второго треугольника.

Ещё одна ошибка — неверно сопоставить угол и сторону: угол против стороны не имеет с ней общей вершины. Путают его с углом, который прилегает к стороне и имеет с ней общий конец. Чтобы проверить себя, укажи вершины стороны и убедись, что вершина противолежащего угла — третья вершина треугольника.

Нельзя считать, что любые две пары равных сторон и равные углы уже гарантируют равенство треугольников. Такое рассуждение пропускает условие о большей стороне и не исключает неоднозначное построение. Перед выводом отметь большую из двух сторон в каждом треугольнике и проверь, что равные углы лежат именно против них.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать, что такое равные треугольники и соответствие их элементов, а также уметь применять другие признаки равенства. Полезно уметь сравнивать отрезки и определять угол, противоположный выбранной стороне. Новый признак помогает доказывать равенство треугольников в задачах, где угол не заключён между известными сторонами. После доказательства можно использовать равенство соответствующих элементов, чтобы находить неизвестные стороны и углы.

Что запомнить

• Заданы две пары равных сторон.
• Задана пара равных углов, лежащих против больших из этих сторон.
• Большую сторону и противолежащий ей угол нужно определить в каждом треугольнике.
• При выполнении всех условий треугольники равны.
• У равных треугольников соответствующие стороны и углы равны.