§ 55. Признак равенства треугольников по трем сторонам

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, которые можно совместить наложением; при этом их соответствующие стороны и углы совпадут. Иначе говоря, совпадут и размер, и форма треугольников. Это понятие позволяет после доказательства равенства сравнивать их элементы.

Соответствующие стороны — стороны двух треугольников, занимающие одинаковое положение при сопоставлении вершин. Например, если вершины A и A₁, B и B₁ соответствуют друг другу, то AB и A₁B₁ — соответствующие стороны. Такое сопоставление нужно, чтобы не сравнить стороны, которые соединяют разные пары вершин.

Третий признак равенства — правило, по которому равенство трёх сторон одного треугольника трём соответствующим сторонам другого позволяет заключить, что треугольники равны. Например, проверяют три пары сторон, а не только две. Признак помогает доказать равенство фигур, даже если равенство углов заранее неизвестно.

Наложение — способ проверки равенства фигур: одну фигуру мысленно перемещают, не растягивая и не сгибая, и совмещают с другой. Если все части совпали, фигуры равны. В геометрическом доказательстве обычно не требуется выполнять наложение буквально: признак позволяет обосновать, что такое совмещение возможно.

Как это устроено

Чтобы применить третий признак к △ABC и △A₁B₁C₁, нужно установить равенства AB = A₁B₁, BC = B₁C₁ и AC = A₁C₁. Эти записи означают, что каждой стороне первого треугольника поставлена в соответствие сторона второго с теми же концами по принятому сопоставлению вершин. Все три равенства должны быть доказаны или даны в условии. Если одна пара не установлена, оснований для этого признака пока нет.

Порядок букв важен, потому что он показывает соответствие вершин. Запись △ABC = △A₁B₁C₁ означает, что A соответствует A₁, B — B₁, а C — C₁; поэтому AB соответствует A₁B₁, а угол B — углу B₁. Если переставить буквы, например записать △ABC = △B₁A₁C₁, изменится предполагаемое соответствие. Тогда можно ошибочно назвать равными стороны или углы, которые не являются соответствующими.

Почему трёх сторон достаточно? Представим, что сторона AB уже выбрана и её длина известна. Вершина C должна находиться на расстоянии AC от точки A и на расстоянии BC от точки B, поэтому её возможное положение задаётся пересечением окружностей с центрами A и B и радиусами AC и BC. У второго треугольника стороны имеют те же длины, значит, после совмещения соответствующих оснований его третья вершина окажется на таком же расстоянии от концов основания.

Окружности могут пересекаться по разные стороны от основания, и это не создаёт нового по форме треугольника. Полученные положения симметричны относительно прямой, на которой лежит основание, поэтому один треугольник можно перевернуть и совместить с другим. В обоих случаях расстояния между вершинами остаются прежними, а все стороны совпадают. Именно поэтому возможное зеркальное расположение третьей вершины не мешает равенству треугольников.

Когда равенство треугольников уже доказано, наложение показывает, что совпадают не только стороны, но и углы. Например, из △ABC = △A₁B₁C₁ следует, что ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁, а также равны соответствующие стороны. Это позволяет использовать исходное равенство сторон для вывода о других элементах. При этом соответствие нужно брать из порядка букв в записи треугольников.

Признак равенства треугольников по трём сторонам

Пользуйся таблицей как проверочным списком: сначала сопоставь вершины, затем проверь каждую из трёх пар сторон. Только после этого делай вывод о равенстве треугольников. Из последней строки можно определить, какие углы будут равны после доказательства.

Разбор задач

Задача 1. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ установлено: AB = A₁B₁, BC = B₁C₁, AC = A₁C₁. Определить, равны ли треугольники, и записать соответствие вершин. Все три равенства уже даны, поэтому нужно лишь проверить порядок сторон и вершин.

1. Сопоставим вершины A с A₁, B с B₁, C с C₁.
2. При таком сопоставлении AB соответствует A₁B₁, BC — B₁C₁, AC — A₁C₁. Все три пары сторон равны.
3. Применяем третий признак и записываем треугольники в согласованном порядке.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁; соответствуют вершины A и A₁, B и B₁, C и C₁. Из равенства можно заключить, что равны и соответствующие углы.

Задача 2. Стороны одного треугольника равны 5 см, 7 см и 9 см, а стороны другого — x см, 7 см и 9 см. Известно, что треугольники равны. Найти x. Равенство треугольников означает, что наборы длин сторон совпадают, но сначала нужно учесть соответствие сторон, а не приравнивать произвольно любые отрезки.

1. У первого треугольника длины сторон составляют 5 см, 7 см и 9 см. У второго уже указаны стороны длиной 7 см и 9 см.
2. У равных треугольников каждой стороне соответствует равная ей сторона. Длины 7 см и 9 см уже сопоставлены, поэтому оставшаяся сторона второго треугольника равна оставшейся стороне первого.
3. Получаем x = 5 см. Проверка: у обоих треугольников стороны имеют одинаковые длины.

Ответ: x = 5 см.

Задача 3. В четырёхугольнике ABCD даны AB = AD и CB = CD. Проведена диагональ AC. Нужно доказать, что AC — биссектриса угла BAD, то есть делит этот угол на два равных угла. Для этого сравним треугольники по разные стороны от диагонали.

1. Рассмотрим △ABC и △ADC. По условию AB = AD и CB = CD.
2. Сторона AC общая для обоих треугольников, поэтому AC = AC. Получили три пары равных соответствующих сторон.
3. По третьему признаку △ABC = △ADC. В соответствии с порядком записи углу BAC соответствует угол CAD, поэтому ∠BAC = ∠CAD.
4. Диагональ AC делит угол BAD на углы BAC и CAD, и они равны. Следовательно, AC является биссектрисой угла BAD.

Ответ: AC — биссектриса угла BAD.

Типичные ошибки

Сравнивают стороны без предварительного установления соответствия вершин и получают неверные равенства. Так происходит, когда выбирают стороны только по расположению в условии, не проверяя их концы. Сначала запиши пары вершин, затем проверь, что сторона соединяет именно соответствующие вершины; всего должно получиться три пары.

Признак путают с правилами по двум сторонам и углу, считая достаточными любые две равные стороны. Но две длины не определяют угол между сторонами, а значит, треугольники могут иметь разную форму. Для самопроверки пересчитай пары: если третье равенство не дано и не доказано, третий признак применять нельзя.

Иногда равенство треугольников записывают в неправильном порядке вершин, а затем сопоставляют не те элементы. Причина — кажется, что буквы можно расположить как угодно, хотя их порядок задаёт соответствие. Подпиши пары вершин и проверь, совпадает ли с ними каждая пара равных сторон.

После доказательства равенства треугольников делают вывод о равенстве несоответствующих углов или сторон. Это происходит, если забыть, какие именно вершины стоят на одинаковых местах в записи. Проверь концы нужных сторон и вершины нужных углов по соответствию; равенство треугольников подтверждает только пары соответствующих элементов.

Связь с другими темами

Для применения признака нужно знать обозначения треугольника, его стороны и углы, а также уметь пользоваться предыдущими признаками равенства. После сравнения треугольников по сторонам можно доказывать равенство углов и отрезков, что часто становится следующим шагом геометрического доказательства. Тот же приём помогает в задачах о равнобедренных треугольниках, медианах, биссектрисах и высотах: в них находят два треугольника и устанавливают равенство их сторон.

Что запомнить

• Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого, треугольники равны.
• Для применения признака нужны именно три пары соответственно равных сторон.
• Соответствие вершин задаётся порядком записи треугольников.
• После доказательства равенства треугольников равны все их соответствующие элементы.
• Три стороны определяют треугольник с точностью до наложения.
• В доказательстве сначала устанавливают равенства сторон, затем формулируют вывод о равенстве треугольников.