§ 54. Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам

Определения и обозначения

Равные треугольники — треугольники, которые при наложении совпадают; их соответствующие стороны и углы равны. Соответствующими называют элементы, которые занимают одинаковое положение в совпавших фигурах. Это понятие позволяет по нескольким известным элементам сделать вывод о совпадении треугольников целиком.

Прилежащие к стороне углы — два угла треугольника, сторонами каждого из которых служит данная сторона. Например, к стороне AB треугольника ABC прилежат углы A и B: один расположен у конца A, другой — у конца B. Такое уточнение помогает понять, какие именно углы нужно сравнить в признаке.

Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам утверждает: если сторона и оба угла при её концах одного треугольника соответственно равны стороне и углам другого, то треугольники равны. Например, из AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E следует равенство △ABC и △DEF. Признак нужен, чтобы доказать совпадение треугольников, не сравнивая заранее все их элементы.

Как это устроено

Сравнивают не произвольные три элемента, а одну сторону и два угла при её концах. Если выбрана сторона AB, нужны углы A и B; углы C и A, например, не образуют нужную пару для этой стороны. Такое расположение данных важно, потому что каждый из двух углов задаёт направление одной из оставшихся сторон треугольника.

Представим два треугольника с равными сторонами AB и DE. Совместим их так, чтобы точка A оказалась на D, а B — на E: равные отрезки можно совместить концами. Тогда равные углы при A и D заставляют лучи AC и DF идти в одном направлении. Равные углы при B и E так же совмещают лучи BC и EF.

Теперь обе пары лучей совпадают, а основание уже совмещено. Вершина C находится там, где пересекаются лучи AC и BC; вершина F — на пересечении совпавших с ними лучей DF и EF. Значит, C и F занимают одно место, поэтому треугольники накладываются друг на друга полностью. Так объясняется, почему указанных трёх равенств достаточно.

Чтобы не ошибиться с соответствием, сначала сопоставляют равные стороны: AB — DE. Затем по углам при их концах получают A — D и B — E, а оставшиеся вершины C и F также соответствуют друг другу. Поэтому запись △ABC = △DEF согласована с данными. Если переставить вершины в названии, нужно переставить их во всех соответствующих элементах одинаково.

Другие признаки равенства используют другие наборы известных элементов. Здесь достаточно одной стороны и двух углов именно при её концах, а не любых двух углов. Не заменяй эту комбинацию одной стороной и одним углом или тремя сторонами: для таких данных нужны отдельные условия и соответствующий признак. Сначала проверь, что все три элемента указаны и правильно сопоставлены.

Признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам

Пользуйся таблицей как проверочным списком: найди равные стороны, а затем проверь углы при обоих концах каждой стороны. Если хотя бы одного условия нет или углы расположены не при концах выбранной стороны, этот признак пока применить нельзя. Когда все условия выполнены, делай вывод о равенстве треугольников.

Разбор задач

Задача 1

Условие. В треугольниках ABC и DEF известно, что AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E. Определите, можно ли применить признак, и запишите соответствие вершин. Сначала проверим не только равенство элементов, но и их расположение. Это позволяет не перепутать пары при записи ответа.

1. Сторона AB равна DE. Углы A и B прилегают к AB, а углы D и E — к DE. Значит, условие о стороне и двух углах при её концах выполнено.

2. По равным углам сопоставляем вершины A и D, B и E. Оставшиеся вершины C и F также соответствуют друг другу. Записываем равенство в этом порядке: △ABC = △DEF.

Ответ. Признак применить можно; соответствие вершин: A ↔ D, B ↔ E, C ↔ F. Порядок букв показывает, какие вершины считаются соответствующими. По признаку треугольники равны.

Задача 2

Условие. Дано: AB = CD, ∠BAC = ∠DCA и ∠ABC = ∠CDA. Докажите равенство треугольников ABC и CDA. Здесь важно заметить, что треугольники названы в разном порядке. Найдём соответствие по самой стороне и углам при её концах.

1. Стороне AB соответствует CD. Угол BAC расположен при конце A стороны AB, а угол DCA — при конце C стороны CD. Поэтому A ↔ C.

2. Угол ABC расположен при конце B стороны AB, а угол CDA — при конце D стороны CD. Поэтому B ↔ D, а оставшиеся вершины соответствуют: C ↔ A.

3. Получили сторону и оба прилежащих к ней равных угла. По признаку △ABC = △CDA. Такое написание совпадает с указанным в задаче порядком соответствующих вершин.

Ответ. △ABC = △CDA по стороне и двум прилежащим к ней углам. Равные сторона и углы стоят при соответствующих вершинах. Значит, условие признака выполнено полностью.

Задача 3

Условие. У двух треугольников равны стороны AB и DE, а также углы при концах этих сторон: ∠A = ∠D и ∠B = ∠E. Докажите равенство треугольников и обоснуйте равенство соответствующих третьих сторон и углов. Сначала докажем совпадение фигур, а уже затем сделаем вывод об остальных элементах. Нельзя объявлять третьи стороны равными до доказательства равенства треугольников.

1. Стороны AB и DE равны, и углы при их концах попарно равны. Следовательно, выполнены все условия признака. Если третьи вершины обозначены C и F, то △ABC = △DEF.

2. После этого можно сравнить соответствующие элементы равных треугольников. Стороне AC соответствует DF, стороне BC — EF, а углу C — углу F. Они равны, потому что при наложении треугольников совпадают.

Ответ. Треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому AC = DF, BC = EF и ∠C = ∠F. Эти равенства являются следствием уже доказанного совпадения треугольников.

Типичные ошибки

• Признак применяют, даже если два равных угла не прилегают к указанной равной стороне. Так происходит, когда замечают равенство углов, но не проверяют их вершины. Найди оба конца стороны и убедись, что именно там расположены сравниваемые углы. Если хотя бы один угол стоит в другой вершине, нужное условие не выполнено.

• Вершины сопоставляют в разном порядке и получают неверные пары равных элементов. Часто это случается, если ориентироваться только на названия треугольников, а не на данные. Сначала сопоставь концы равных сторон, затем проверь равенство углов при них. После этого оставшиеся вершины определятся однозначно.

• Считают, что для признака достаточно равенства стороны и одного прилежащего угла. Это выглядит убедительно, потому что два элемента уже совпадают, но положение третьей вершины ещё не задано полностью. Проверь список условий: в нём должны быть сторона и оба угла при её концах. Если второго угла нет, признак применить нельзя.

• По равенству отдельных углов сразу заключают, что треугольники равны. Углы могут совпадать, но без нужной равной стороны и второго прилежащего угла основания для такого вывода нет. Перечисли все данные и сопоставь их с условиями признака. Только после этого записывай равенство треугольников.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны знания о треугольнике, его сторонах и углах, а также обозначения равных отрезков и углов. Нужно уметь находить соответствующие элементы и пользоваться ранее изученными признаками равенства. Новый признак помогает доказывать равенство отрезков и углов: сначала устанавливают равенство треугольников, а затем сравнивают их соответствующие элементы. Этот приём используют и в задачах на доказательство геометрических утверждений.

Что запомнить

• Для признака сравнивают одну сторону и два угла при её концах.
• Оба угла должны прилегать к выбранной стороне.
• Равные данные должны соответствовать друг другу в двух треугольниках.
• При выполнении условия треугольники равны.
• У равных треугольников равны все соответствующие стороны и углы.