§ 53. Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними

Определения и обозначения

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого, то треугольники равны. Это позволяет доказать равенство целых треугольников, не сравнивая отдельно все их элементы. Например, если AB = DE, AC = DF и ∠BAC = ∠EDF, то можно применить признак к △ABC и △DEF.

Соответственные стороны — это стороны равных треугольников, которые занимают одинаковое место при сопоставлении вершин. Например, если A соответствует D, а B — E, то стороне AB соответствует DE. Это понятие нужно, чтобы правильно записывать равные стороны и не перепутать их при решении задачи.

Соответственные углы — углы равных треугольников при соответствующих вершинах. Если вершине A соответствует D, то углу A соответствует угол D. Такое сопоставление помогает установить, какие углы равны, и записать треугольники в правильном порядке.

Угол между двумя сторонами — угол, образованный этими сторонами и имеющий с ними общую вершину. Например, между сторонами AB и AC находится ∠BAC, вершина которого — A. Это определение нужно, чтобы выбрать именно тот угол, который требуется для признака.

Как это устроено

Для применения признака сначала выбери в каждом треугольнике две стороны и угол между ними. У такого угла вершина общая с обеими сторонами, поэтому его можно узнать по обозначению: в ∠BAC стороны BA и AC сходятся в точке A. Если взять угол при другой вершине, он может быть образован не теми сторонами, равенство которых дано. Поэтому проверка положения угла — часть условия признака, а не формальность.

Равенство двух сторон задаёт длины отрезков, но сами по себе эти длины ещё не показывают, как стороны расположены друг относительно друга. Угол между ними фиксирует это расположение: при изменении угла треугольник меняет форму. Когда две длины и угол между ними заданы, стороны можно представить как два луча с общей вершиной, на которых отмечены нужные отрезки. Концы отрезков соединяются, и получается треугольник, определённый с точностью до наложения.

Чтобы сопоставить вершины, найди в обоих треугольниках углы, образованные выбранными парами сторон: их вершины должны соответствовать друг другу. Затем сопоставь концы равных сторон, отходящих от этих вершин. Например, при AB = DE и AC = DF вершина A соответствует D, а стороны AB и AC — DE и DF. Такая проверка не даёт записать равные элементы в разных соответствиях.

Когда три условия признака выполнены, равны сами треугольники, а не только выбранные стороны и угол. Значит, равны и все их соответствующие стороны и углы, в том числе третьи стороны и углы, которые сначала не были известны. Это следует из равенства треугольников: при наложении соответствующие вершины и стороны совпадают. Поэтому отдельно доказывать равенство оставшихся элементов не требуется.

В доказательстве сначала укажи пары соответствующих сторон и углов и проверь равенство каждой пары. Затем убедись, что названный угол заключён между указанными сторонами в обоих треугольниках. После этого сформулируй вывод о равенстве треугольников и сошлись на признаке. Такой порядок показывает, что выполнены все условия, а не просто найдены несколько равных элементов.

Признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними

В таблице сначала отметь пары равных сторон, а затем найди угол, заключённый между каждой парой в своём треугольнике. Проверь, что эти углы равны и что вершины в записи треугольников расположены в соответствии друг с другом. Если все три условия выполнены, можно сделать вывод о равенстве треугольников.

Разбор задач

Задача 1

Условие: в двух треугольниках AB = DE, AC = DF и ∠BAC = ∠EDF. Докажем равенство треугольников. Стороны AB и AC сходятся в A, а DE и DF — в D, поэтому равные углы стоят при соответствующих вершинах.

1. Установим соответствие вершин: A ↔ D, поскольку ∠BAC = ∠EDF.
2. Сопоставим стороны: AB = DE и AC = DF по условию.
3. ∠BAC и ∠EDF — углы между этими сторонами, поэтому применяем признак равенства.

Ответ: △ABC = △DEF. Порядок букв показывает, что B соответствует E, а C соответствует F. Следовательно, можно использовать равенство и остальных соответствующих элементов этих треугольников.

Задача 2

Условие: в △ABC и △DEF известны AB = DE, BC = EF и ∠B = ∠E. Нужно определить, можно ли применить данный признак. Угол B образован сторонами BA и BC, а угол E — сторонами ED и EF.

1. Проверим стороны около первого угла: это AB и BC, обе стороны указаны в условии.
2. Проверим стороны около второго угла: это DE и EF, и равенство обеих сторон также дано.
3. Углы B и E равны по условию и заключены между соответствующими сторонами.

Ответ: да, признак применим, поэтому △ABC = △DEF. Здесь вершины B и E соответствуют друг другу, а AB соответствует DE и BC соответствует EF. Именно проверка положения угла позволяет убедиться, что условие признака выполнено полностью.

Задача 3

Условие: AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠BAC = ∠B₁A₁C₁; известно, что BC = 7 см, а B₁C₁ = 2x + 1 см. Сначала докажем равенство треугольников, затем найдём x. Равные стороны сходятся в вершинах A и A₁, а указанные углы заключены между ними.

1. Сопоставим вершины A ↔ A₁, B ↔ B₁, C ↔ C₁.
2. По условию равны две пары соответствующих сторон и углы между ними, поэтому △ABC = △A₁B₁C₁.
3. Из равенства треугольников следует BC = B₁C₁. Составим уравнение: 7 = 2x + 1, откуда 2x = 6 и x = 3.

Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁, x = 3. Уравнение составлено из равенства соответствующих третьих сторон, которое следует из равенства треугольников. Проверка: при x = 3 выражение 2x + 1 равно 7 см.

Типичные ошибки

Первая ошибка — сравнить две стороны, но выбрать угол, который не заключён между ними. Так поступают, когда ориентируются только на равенство углов и не проверяют их вершины. Найди общую вершину выбранных сторон и убедись, что именно при ней расположен указанный угол.

Вторая ошибка — неверно сопоставить вершины и записать равные элементы в разных соответствиях. Это часто происходит, если смотреть на названия треугольников, а не на то, какие стороны образуют угол. Проследи от общей вершины угла к концам равных сторон и только потом записывай соответствие.

Третья ошибка — считать, что достаточно двух равных сторон и любого равного угла. Но угол вне выбранной пары сторон не задаёт их взаимное расположение, поэтому условие признака не выполнено. Для самопроверки назови обе стороны, образующие угол, в каждом треугольнике.

Четвёртая ошибка — объявить треугольники равными, заметив лишь отдельные равные элементы. Причина обычно в том, что проверяют числа, но забывают проверить их соответствие и положение угла. Перед выводом отметь две пары равных сторон, равенство углов между ними и правильное соответствие вершин; затем назови признак.

Связь с другими темами

Для работы с признаком нужно знать, что такое треугольник, его стороны и углы, и уметь обозначать равные отрезки и углы. Также необходимо находить угол между сторонами и сопоставлять вершины двух треугольников. Этот признак используют в доказательствах равенства треугольников, а затем — чтобы обосновать равенство их остальных соответствующих сторон и углов.

Что запомнить

• Сравнивают две стороны и угол между ними.
• Угол должен быть заключён между выбранными сторонами.
• Равные элементы должны соответствовать друг другу.
• При выполнении трёх условий треугольники равны.
• У равных треугольников равны все соответствующие стороны и углы.