§ 52. О равенстве треугольников

Определения и обозначения

Равные треугольники — это треугольники, которые при наложении полностью совмещаются. Иными словами, фигуры совпадут, если одну из них переместить и, если нужно, перевернуть. Это определение помогает отличать равенство фигур от простого сходства или равенства площади.

Соответствующие вершины — вершины двух треугольников, которые при наложении попадают друг на друга. Например, если вершина A совпадает с D, то A и D — соответствующие вершины. Их нужно определить первыми, чтобы не перепутать стороны и углы при сравнении.

Соответствующие стороны — стороны, которые совпадают при наложении равных треугольников. У стороны AB соответствующей будет сторона, соединяющая вершины, соответствующие A и B. Такое сопоставление позволяет записать, какие именно стороны равны.

Соответствующие углы — углы при соответствующих вершинах, которые совмещаются при наложении. Если A соответствует D, то угол A соответствует углу D; углы обозначают знаком ∠ и буквами вершины или тремя буквами, например ∠A и ∠D. Это обозначение помогает не принять за равные углы, расположенные при других вершинах.

Как это устроено

Равенство удобно понимать через наложение: мысленно перемещаем один треугольник к другому и проверяем, совпали ли они целиком. Если совпали все точки фигур, треугольники равны; если какая-либо часть выступает или не доходит до другой, наложения нет. Поэтому речь идёт не только о похожей форме, но и о совпадении размеров. Такой способ даёт наглядный смысл слову «равные».

Сначала следует установить, какая вершина одного треугольника совпадает с какой вершиной другого. Причина проста: каждая сторона соединяет две вершины, а каждый угол расположен при одной вершине. Если соответствия вершин перепутаны, можно сравнить не те стороны и углы, даже если сами треугольники равны. Условие задачи или порядок букв в записи подсказывает нужные пары.

Когда треугольники полностью совмещаются, совпадают и части, из которых они состоят. Значит, равны все соответствующие стороны и все соответствующие углы. Например, если при наложении A попадает на D, а B — на E, то сторона AB совмещается с DE, а угол при A — с углом при D. Равенство отдельных элементов здесь следует из полного совпадения фигур.

Запись равенства треугольников показывает соответствие вершин по порядку. В записи △ABC = △DEF первой вершине A соответствует первая D, второй B — вторая E, третьей C — третья F. Поэтому нельзя менять порядок букв произвольно: запись △ABC = △DFE задавала бы уже другое соответствие. Чтобы записать равенство правильно, перечисляй вершины в согласованном порядке.

Проверяя запись, пройди по ней последовательно и сопоставь вершины. Затем проверь, что каждой стороне соответствует сторона между соответствующими вершинами, а каждому углу — угол при соответствующей вершине. Например, при соответствиях A—D, B—E, C—F сторона BC должна соответствовать EF, а не DE. Такая проверка обнаруживает ошибки до того, как они попадут в доказательство.

Соответствие элементов равных треугольников

Сначала найди соответствующие вершины, а затем используй таблицу для сторон и углов. Для стороны проследи, какие две вершины она соединяет; для угла — при какой вершине он расположен. Тогда элементы будут сопоставлены без догадок по их обозначениям.

Разбор задач

Задача 1. Даны треугольники ABC и DEF, причём при наложении A совмещается с D, B — с E, C — с F. Указать соответствующие стороны и углы. Сначала фиксируем данные пары вершин, а затем по ним находим элементы. Именно вершины определяют, какие стороны и углы совпадут.

1. Записываем пары вершин: A—D, B—E, C—F.
2. Сопоставляем стороны по их концам: AB—DE, BC—EF, AC—DF.
3. Сопоставляем углы при вершинах: ∠A—∠D, ∠B—∠E, ∠C—∠F.

Ответ: соответствующие стороны — AB и DE, BC и EF, AC и DF; соответствующие углы — A и D, B и E, C и F.

Задача 2. Записать равенство треугольников, если вершины A, B, C соответственно совмещаются с вершинами P, R, Q. Слова «соответственно» задают точный порядок пар. Поэтому после букв ABC нужно поставить P, R, Q именно в том порядке, в каком им соответствуют вершины.

1. Составляем пары: A—P, B—R, C—Q.
2. Записываем вершины первого треугольника: ABC.
3. Во втором треугольнике располагаем соответствующие вершины в том же порядке: PRQ.

Ответ: △ABC = △PRQ. Например, сторона AB при таком порядке соответствует PR, а не стороне, выбранной по сходству букв.

Задача 3. Известно, что треугольники ABC и MNP равны и запись имеет вид △ABC = △NMP. Указать равные стороны и угол, соответствующий углу B. Названия MNP не отменяют порядок, заданный записью: сравнивать нужно вторую букву с второй, а не ориентироваться на привычный порядок букв.

1. Читаем соответствие по записи: A—N, B—M, C—P.
2. Сторонам AB, BC и AC соответствуют NM, MP и NP.
3. Вершине B соответствует M, значит, углу B соответствует угол M.

Ответ: AB = NM, BC = MP, AC = NP; ∠B соответствует ∠M.

Типичные ошибки

Считать равенство треугольников равенством их площадей — ошибка: два треугольника могут занимать одинаковую площадь, но иметь разную форму или размеры. Так думают, потому что слово «равны» связывают с одинаковым числом. Проверь себя вопросом: получится ли полностью совместить фигуры при наложении? Если нет, равенство треугольников не установлено.

Сопоставлять вершины только по буквам нельзя: буквы служат названиями и сами по себе не показывают соответствие. Такая ошибка возникает, когда кажется, что A должна соответствовать A, а B — B. Проверь условие наложения или порядок в записи; именно они задают пары вершин.

Переставлять вершины в записи равенства без изменения порядка соответствующих вершин тоже неверно. Причина ошибки — привычка считать, что порядок букв не влияет на смысл. Сверь каждую букву в первом треугольнике с буквой на том же месте во втором: если пары не совпадают с условием, запись нужно исправить.

Сравнивать стороны или углы до установления вершин рискованно: можно выбрать элементы, которые не совмещаются. Обычно так происходит, когда сразу ищут стороны с похожими названиями или расположением. Сначала запиши пары вершин, затем проверь концы каждой стороны и вершину каждого угла.

Связь с другими темами

Для работы с равенством треугольников нужно уметь обозначать треугольник, его вершины, стороны и углы. Понятие наложения даёт наглядный смысл равенству фигур. Позже оно поможет понимать признаки равенства треугольников: по ним равенство можно будет обосновать, не выполняя физическое наложение. Соответствие элементов также используют в доказательствах равенства отрезков и углов.

Что запомнить

• Равные треугольники полностью совмещаются при наложении.
• У равных треугольников равны все соответствующие стороны и углы.
• Соответствие вершин определяет соответствие сторон и углов.
• Порядок вершин в записи равенства важен.
• Одинаковая площадь сама по себе не доказывает равенство треугольников.