§ 58. Деление отрезка на два равных отрезка. Построение взаимно перпендикулярных прямых

Определения и обозначения

Равные отрезки — отрезки одинаковой длины. При построении циркуль помогает переносить длину: если его раствор не меняется, можно отложить отрезок, равный заданному. Так получают точки на одинаковом расстоянии от выбранных точек.

Середина отрезка — точка, которая делит отрезок на два равных отрезка. Например, если M — середина AB, то AM = MB. Найти середину важно, когда требуется разделить отрезок поровну или построить прямую, проходящую через его центр.

Перпендикулярные прямые — прямые, которые при пересечении образуют прямые углы, то есть углы по 90°. Запись a ⟂ b означает, что прямые a и b перпендикулярны. Это обозначение кратко сообщает, какой угол образуют прямые.

Серединный перпендикуляр отрезка — прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярна ему. Она состоит из точек, равноудалённых от концов отрезка. Это свойство помогает строить середину и перпендикуляры с помощью циркуля и линейки.

Как это устроено

Чтобы отметить точки, одинаково удалённые от концов отрезка AB, поставьте ножку циркуля сначала в A, затем в B и проведите дуги одним и тем же раствором. Радиус должен быть больше половины AB: иначе дуги не пересекутся в двух точках. Если раствор циркуля сохраняется, расстояния от каждой точки пересечения до A и B будут равны радиусу. Поэтому равенство расстояний возникает из равенства радиусов, а не из измерения линейкой.

Обозначим точки пересечения дуг C и D. Для каждой из них AC = BC и AD = BD, потому что обе точки лежат на дугах с центрами A и B одинакового радиуса. Значит, C и D равноудалены от концов AB. Именно такие точки лежат на серединном перпендикуляре: он проходит через середину отрезка и делит его пополам под прямым углом.

Проведите линейкой прямую через C и D. Она пересечёт AB в точке M, которая и будет серединой отрезка. Можно объяснить это свойствами равнобедренного треугольника: в треугольниках ACD и BCD стороны AC и BC равны, AD и BD равны, а CD общая. Треугольники равны, поэтому прямая CD делит AB пополам и перпендикулярна ему.

Пусть точка M лежит на прямой a, и через неё нужно провести перпендикуляр. Отметьте на прямой по разные стороны от M точки A и B так, чтобы MA = MB. Тогда M — середина AB. Постройте серединный перпендикуляр к AB: он проходит через M и образует с прямой a прямой угол, потому что AB лежит на a.

Если точка P находится вне прямой a, проведите окружность с центром P так, чтобы она пересекла прямую в точках A и B. Радиусы PA и PB равны, поскольку это радиусы одной окружности, значит, P равноудалена от A и B. Поэтому P лежит на серединном перпендикуляре к AB. Построенная через середину AB прямая перпендикулярна AB, а значит, и прямой a.

Построение середины отрезка и перпендикулярной прямой

Сначала найдите в таблице свой случай: точка может лежать на прямой, быть вне её или нужно делить отрезок. Затем выполните действия циркулем и линейкой по порядку. В последнем столбце указано, какое свойство подтверждает результат.

Разбор задач

Задача 1. Постройте середину отрезка AB циркулем и линейкой. Нужно получить точку на AB, равноудалённую от A и B. Для этого достаточно построить серединный перпендикуляр: его пересечение с отрезком и будет искомой точкой.

1. Установите раствор циркуля больше половины длины AB и проведите дугу с центром A.
2. Не меняя раствор, проведите дугу с центром B так, чтобы дуги пересеклись в двух точках.
3. Соедините точки пересечения линейкой. Точка, в которой эта прямая пересекает AB, — середина M.

Обе точки пересечения дуг равноудалены от A и B, поэтому проведённая прямая — серединный перпендикуляр. Следовательно, она пересекает AB в середине. Ответ: точка M — середина AB.

Задача 2. Через точку M, лежащую на прямой a, постройте прямую, перпендикулярную a. Так как M должна быть серединой вспомогательного отрезка на a, сначала создадим такой отрезок с концами на равных расстояниях от M. Его серединный перпендикуляр пройдёт через M и даст нужное направление.

1. Поставьте циркуль в M и выберите произвольный радиус, при котором дуга пересекает a по обе стороны от M.
2. Обозначьте точки пересечения A и B. Тогда MA = MB, следовательно, M — середина AB.
3. Постройте серединный перпендикуляр отрезка AB: проведите из A и B дуги одинакового радиуса больше половины AB и соедините их точки пересечения.

Построенная прямая проходит через M, а AB лежит на a. Серединный перпендикуляр образует с AB угол 90°, значит, он перпендикулярен и a. Ответ: прямая через M, построенная как серединный перпендикуляр AB.

Задача 3. Через точку P, не лежащую на прямой a, постройте перпендикуляр к a. Вспомогательным отрезком станет часть прямой a внутри окружности с центром P. Её концы будут равноудалены от P, поэтому серединный перпендикуляр этого отрезка пройдёт через P.

1. Поставьте иглу циркуля в P и проведите окружность, пересекающую прямую a в двух точках.
2. Обозначьте точки пересечения A и B. Поскольку PA и PB — радиусы одной окружности, PA = PB.
3. Постройте серединный перпендикуляр AB дугами с центрами A и B одинакового радиуса, большего половины AB.

Точка P равноудалена от A и B и потому лежит на серединном перпендикуляре AB. Эта прямая перпендикулярна AB, а AB лежит на a. Ответ: серединный перпендикуляр AB — искомая прямая через P.

Типичные ошибки

Если радиус дуг меньше половины отрезка, дуги из его концов не пересекутся, и построение остановится. Так бывает, когда раствор циркуля выбирают слишком маленьким, не учитывая длину отрезка. Перед проведением дуг убедитесь, что их радиус больше половины отрезка; при сомнении увеличьте раствор циркуля.

Если взять для дуг разные радиусы, точки пересечения не обязаны быть равноудалены от концов отрезка. Тогда прямая через них может не проходить через середину, хотя дуги визуально пересекаются. Не меняйте раствор циркуля между дугами и проверьте, что обе проведены одним и тем же радиусом.

Прямая через одну точку пересечения дуг и конец отрезка обычно не является серединным перпендикуляром. Ошибка возникает, когда одну найденную точку принимают за достаточное направление для построения. Нужно соединить именно две точки пересечения дуг, а затем убедиться, что прямая пересекает исходный отрезок.

Точка пересечения построенной прямой с исходным отрезком не становится его серединой автоматически, если дуги построены неверно. Например, неравные радиусы не гарантируют равенства расстояний до концов. Проверьте, что дуги имеют одинаковый радиус и что прямая соединяет обе точки их пересечения; тогда она является серединным перпендикуляром.

Связь с другими темами

Для таких построений нужно уметь пользоваться циркулем и линейкой, откладывать равные отрезки и проводить окружности. Обоснование связано со свойствами равнобедренного треугольника и признаком равенства треугольников: они объясняют, почему построенная прямая делит отрезок пополам и перпендикулярна ему. Эти приёмы пригодятся при задачах на геометрические места точек и при построении треугольников.

Что запомнить

• Середина отрезка делит его на два равных отрезка.
• Точки серединного перпендикуляра равноудалены от концов отрезка.
• Серединный перпендикуляр проходит через середину отрезка под прямым углом к нему.
• Чтобы построить середину отрезка, достаточно найти две точки, равноудалённые от его концов.
• Перпендикулярные прямые образуют угол 90°.
• Равенство радиусов дуг обеспечивает равноудалённость точек их пересечения от центров.