§ 59. Построение угла, равного данному углу

Определения и обозначения

Равные углы — это углы, которые совмещаются при наложении друг на друга. У них равны градусные меры, поэтому их стороны после совмещения совпадают. Это понятие помогает понять, какой результат требуется получить при построении.

Построение угла, равного данному — это получение циркулем и линейкой нового угла, который совмещается с заданным. Новый угол можно построить от выбранного луча, не измеряя исходный транспортиром. Такое умение нужно, когда требуется точно перенести угол в другую часть чертежа.

Циркуль — инструмент для проведения окружностей и переноса расстояний без изменения их длины. Его раствор — расстояние между иглой и грифелем — сохраняют, пока переносят нужный отрезок. Циркуль понадобится и для проведения дуг, и для отметки расстояния между точками.

Линейка — инструмент, которым проводят прямую или луч через заданные точки. В этом построении ею задают первую сторону нового угла, а затем проводят вторую через вершину и полученную отметку. Линейка служит для прямых линий, а не для измерения угла.

Как это устроено

Сначала выбирают луч, от которого должен начинаться новый угол. Его начало будет вершиной, то есть общей точкой двух сторон угла. Такая договорённость задаёт положение будущей фигуры на чертеже, но пока не определяет направление второй стороны.

Чтобы перенести исходный угол, поставьте иглу циркуля в его вершину и проведите дугу, пересекающую обе стороны. Обозначим точки пересечения A и B. Дуга нужна для того, чтобы выбрать на каждой стороне точку на одинаковом расстоянии от вершины: радиусы OA и OB равны, потому что это радиусы одной окружности.

Теперь поставьте иглу в начало заданного луча и проведите дугу того же радиуса. Она пересечёт этот луч в точке A′. Одинаковый радиус важен: тогда расстояние от новой вершины до A′ будет таким же, как от старой вершины до A. Благодаря этому одна пара сторон будущих треугольников уже будет равна.

Раскройте циркуль на расстояние AB — между двумя точками, где первая дуга пересекла стороны исходного угла. Не меняя раствор, поставьте иглу в A′ и сделайте отметку B′ на второй дуге с выбранной стороны луча. Такое действие переносит хорду дуги: отрезок AB и отрезок A′B′ равны, а не просто похожи по положению.

Проведите из новой вершины луч через B′. Чтобы обосновать результат, сравните треугольники OAB и O′A′B′: их соответствующие радиусы равны, как и хорды AB и A′B′. Значит, треугольники равны по трём сторонам, а их углы при вершинах O и O′ тоже равны. Следовательно, второй луч образует с заданным лучом угол, равный исходному.

Этапы построения угла, равного данному

Пользуйтесь таблицей сверху вниз: каждый этап опирается на предыдущий. Перед переносом хорды проверьте, что раствор циркуля не изменился. В конце убедитесь, что новый луч проходит и через вершину, и через отметку на дуге.

Разбор задач

Задача 1. Построить угол, равный данному, от заданного луча на указанной стороне от него. Нужно перенести не только расстояние от вершины до дуги, но и форму угла. Для этого используем одинаковые дуги и расстояние между точками пересечения первой дуги со сторонами исходного угла.

1. Поставьте иглу циркуля в вершину исходного угла и проведите дугу, пересекающую его стороны в точках A и B.
2. Не меняя раствор циркуля, проведите такую же дугу из начала заданного луча. Точку её пересечения с лучом обозначьте A′.
3. Раскройте циркуль на AB, поставьте иглу в A′ и отметьте на второй дуге точку B′ с нужной стороны луча.
4. Линейкой проведите из вершины луч через B′. Он образует с заданным лучом искомый угол.

Ответ: угол, образованный заданным лучом и построенным лучом, равен исходному. Одинаковые радиусы задают равные расстояния от вершин до дуг, а перенесённый отрезок AB сохраняет расстояние между точками на сторонах. Поэтому форма угла сохраняется, хотя вершина и направление лучей могут быть другими.

Задача 2. Построить угол, равный данному, если заданы вершина и одна сторона нового угла, но не указано, куда направить вторую сторону. Достаточно выбрать одну из сторон заданного луча, на которой будет располагаться новый угол. Перенос расстояния выполняется так же, как в первом случае.

1. Выберите сторону от заданного луча, на которой будете строить угол. Проведите дугу из вершины исходного угла и обозначьте её пересечения со сторонами A и B.
2. Тем же раствором циркуля проведите дугу из вершины нового угла. Она пересечёт заданный луч в точке A′.
3. Установите раствор циркуля равным AB и из A′ отметьте на новой дуге точку B′ с выбранной стороны луча.
4. Проведите через вершину нового угла и B′ второй луч.

Ответ: получен угол, равный данному, с выбранной стороны от луча. Если условие не требует конкретного расположения, можно выбрать и другую сторону. При этом радиус обеих дуг и переносимое расстояние AB остаются неизменными.

Задача 3. Построить угол, равный данному, и обосновать правильность. Обозначим вершины углов O и O′, а точки пересечения дуг со сторонами — A, B и A′, B′. После построения нужно показать, почему углы AOB и A′O′B′ равны, а не только выглядят одинаково на чертеже.

1. Проведите дуги одного радиуса с центрами O и O′. Тогда OA = O′A′ и OB = O′B′.
2. Перенесите расстояние между исходными точками A и B на вторую дугу. По построению AB = A′B′.
3. Сравните треугольники OAB и O′A′B′. У них равны три пары соответствующих сторон, поэтому треугольники равны по трём сторонам.
4. В равных треугольниках соответствующие углы равны. Значит, угол AOB равен углу A′O′B′.

Ответ: построенный угол равен исходному, что следует из равенства треугольников. Радиусы дают две пары равных сторон, а перенос циркулем — третью пару. Поэтому доказательство не зависит от того, насколько аккуратно или крупно выполнен чертёж.

Типичные ошибки

Дуги проводят разного радиуса, потому что при переносе случайно меняют раствор циркуля или заново выставляют его «на глаз». Тогда соответствующие радиусы уже не равны, и сравнить треугольники по построению нельзя. Проверьте себя: прежде чем проводить вторую дугу, не сдвигайте грифель относительно иглы.

Иглу ставят не в вершину угла или не в начало заданного луча, поскольку эти точки легко перепутать с пересечениями дуги и сторон. В таком случае дуга получает неверный центр, и отметки оказываются не на нужном расстоянии от вершин. Проверьте, что игла стоит именно в общей точке сторон каждого угла.

Вместо расстояния между точками пересечения дуги со сторонами переносят один из радиусов. Это часто происходит потому, что радиус кажется главным размером дуги, но он уже задан её одинаковым раствором. Для проверки назовите концы переносимого отрезка: ими должны быть именно две исходные точки на сторонах угла.

Вторую сторону проводят мимо вершины или не через отметку, потому что линейку прикладывают неточно. Тогда полученный луч не соединяет вершину с точкой B′ и не задаёт нужный угол. Проверьте, что обе точки — начало луча и отметка на дуге — лежат на одной прямой, а сам луч начинается в новой вершине.

Связь с другими темами

Перед построением нужно уметь пользоваться циркулем и линейкой, проводить лучи и находить точки пересечения. Также понадобятся знания о равенстве отрезков и углов и о том, что радиусы одной окружности равны. Они объясняют, почему перенос длины и сравнение треугольников позволяют проверить результат.

Умение переносить угол пригодится в задачах на геометрические построения и при построении треугольников с заданными элементами. Например, заданный угол можно использовать как один из углов будущего треугольника. Тогда к построенному углу добавляют требуемые стороны или другие данные задачи.

Что запомнить

• Для переноса угла используют циркуль и линейку.
• На обеих дугах должен быть один и тот же радиус.
• Циркулем переносят расстояние между точками пересечения дуги со сторонами исходного угла.
• Вторая сторона нового угла проходит через его вершину и перенесённую отметку.
• Правильность построения обосновывают равенством радиусов и перенесённой хорды.
• Построенный угол равен исходному.