§ 60. Деление угла на два равных угла

Определения и обозначения

Биссектриса угла — луч, выходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла. Иначе говоря, от исходного угла по обе стороны луча остаются одинаковые части. Это понятие нужно, когда требуется разделить угол пополам или найти луч, равноудалённый по направлению от его сторон.

Равные углы — углы, градусные меры которых одинаковы; при делении угла пополам получаются два равных угла. Например, если угол разделили на две части по 30°, то обе части равны. Это определение помогает понять, что значит «разделить пополам», и проверить результат построения.

Построение циркулем и линейкой — способ выполнять геометрические построения с помощью циркуля и линейки без делений. Циркулем проводят окружности или дуги, а линейкой — прямые и лучи. Такой способ нужен, чтобы получать фигуры по точным геометрическим условиям, а не на глаз.

Окружность — множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки, называемой центром. Это постоянное расстояние называют радиусом. При построении биссектрисы свойство окружности позволяет отметить точки, равноудалённые от её центра, а пересечение двух окружностей — точку, равноудалённую от их центров.

Как это устроено

Сначала ставят иглу циркуля в вершину угла и проводят дугу, пересекающую обе его стороны. Обозначим точки пересечения A и B, а вершину — O. Так OA и OB становятся радиусами одной окружности, поэтому эти отрезки равны. Это важно: точки A и B расположены на одинаковом расстоянии от вершины, и построение получается симметричным относительно будущего луча.

Затем центр циркуля по очереди ставят в A и B, не меняя раскрытия циркуля, и проводят дуги. Если дуги пересеклись внутри угла в точке C, то AC и BC — радиусы одинаковой длины. Значит, точка C равноудалена от A и B. Одинаковое раскрытие циркуля здесь не случайная договорённость: оно обеспечивает равенство двух отрезков, нужное для доказательства.

Теперь проводят луч из O через C. Его начало должно совпадать с вершиной исходного угла, иначе луч не сможет разделить именно этот угол. Точка C задаёт направление луча, а не конец отрезка: биссектриса продолжается от вершины через C. Пересечение дуг выбирают внутри угла, чтобы полученный луч проходил между его сторонами.

Проверим построение с помощью треугольников OAC и OBC. В них OA = OB, потому что это радиусы первой окружности; AC = BC, потому что дуги провели одним радиусом; OC — общая сторона. Следовательно, треугольники равны по трём сторонам. Это рассуждение превращает точный рисунок в доказательство и не зависит от того, насколько аккуратно он начерчен.

У равных треугольников равны соответствующие углы при вершине O: угол AOC равен углу COB. Эти углы вместе составляют исходный угол AOB, поэтому луч OC делит его на две равные части и является биссектрисой. Получается, что построение работает благодаря равенству отрезков, а не только потому, что луч на рисунке кажется проходящим посередине.

Построение биссектрисы угла циркулем и линейкой

Таблица показывает последовательность построения и смысл каждого шага. Выполняйте действия по порядку: сначала отметьте точки на сторонах угла, затем постройте пересечение дуг и проведите луч. Не меняйте раскрытие циркуля между проведением дуг из двух отмеченных точек.

Разбор задач

Постройте биссектрису данного угла циркулем и линейкой.

Чтобы построить биссектрису, нужно получить точку, которая подходит для проведения луча из вершины. Дуга с центром в вершине даёт две точки на сторонах угла, равноудалённые от вершины. А пересечение дуг одинакового радиуса отмечает точку, равноудалённую от этих двух точек.

1. Обозначьте вершину угла O. Проведите циркулем дугу с центром O и отметьте её пересечения со сторонами угла A и B.
2. Не меняя раскрытия циркуля, проведите дуги с центрами A и B. Отметьте их пересечение C, лежащее внутри угла.
3. Проведите луч OC. Он и будет искомой биссектрисой.

Проверьте, что вторая пара дуг проведена одним радиусом, а точка C находится между сторонами угла. При необходимости продолжите луч за точку C, не меняя его направления. Ответ: луч OC — построенная биссектриса угла AOB.

Постройте биссектрису угла и обоснуйте, что она делит его пополам.

Одного чертежа недостаточно: визуально луч может казаться серединой угла, хотя построен неточно. Поэтому после построения сравним два треугольника с общей стороной. Равенство треугольников позволит сделать вывод о равенстве углов.

1. Проведите дугу с центром O и отметьте её пересечения со сторонами угла A и B. Тогда OA = OB как радиусы одной окружности.
2. Из A и B проведите дуги одного радиуса и обозначьте их внутреннее пересечение C. Получаем AC = BC; кроме того, OC — общая сторона треугольников OAC и OBC.
3. Сравните треугольники OAC и OBC. Все три пары соответствующих сторон равны, поэтому треугольники равны по трём сторонам.
4. Запишите равенство соответствующих углов: ∠AOC = ∠COB. Следовательно, луч OC делит исходный угол на две равные части.

В доказательстве использованы только свойства радиусов и общая сторона треугольников. Ответ: построенный луч OC является биссектрисой, потому что прилегающие к нему углы равны.

На рисунке дан угол и точка внутри него. Постройте его биссектрису, используя эту точку как пересечение дуг; укажите, при каком условии построение будет обоснованным.

Данная точка не обязательно годится для построения: важно проверить расстояния до точек на сторонах угла. Обозначим вершину угла O, а пересечения дуги с центром O со сторонами — A и B. Пусть заданная внутренняя точка — C. Именно равенство AC и BC позволит обосновать построение.

1. Проведите дугу с центром O и отметьте точки A и B на сторонах угла. По свойству этой дуги OA = OB.
2. Проверьте, что заданная точка C равноудалена от A и B, то есть AC = BC. Это условие означает, что C лежит на обеих дугах с центрами A и B и одинаковым радиусом.
3. Если условие выполнено, проведите луч OC. Треугольники OAC и OBC имеют равные три стороны: OA = OB, AC = BC, а OC — общая.
4. Сделайте вывод из равенства треугольников: ∠AOC = ∠COB, поэтому луч OC делит угол пополам.

Если AC и BC не равны, доказать равенство треугольников этим способом нельзя, и точку нельзя использовать как требуемое пересечение дуг. Ответ: построение обосновано при условии AC = BC; тогда луч из вершины через C является биссектрисой.

Типичные ошибки

Проводят дуги из точек на сторонах угла разными радиусами. Тогда отрезки от этих точек до пересечения дуг могут быть неравны, и доказательство по трём сторонам не сработает; обычно раскрытие циркуля случайно меняют между шагами. Проверьте, что его положение осталось прежним, или сравните длины полученных отрезков.

Выбирают пересечение дуг вне угла. Луч через такую точку направлен не внутрь угла и не разделяет его на две части; ошибку часто замечают только после того, как уже проведён луч. Перед соединением проверьте, между какими сторонами лежит точка пересечения, и используйте внутреннюю.

Проводят луч не из вершины угла. Даже если он проходит через пересечение дуг, такой луч не является биссектрисой исходного угла по определению; можно перепутать точку начала луча с точкой пересечения дуг. Убедитесь, что линейка проходит через вершину и выбранную внутреннюю точку.

Считают, что рисунок сам по себе доказывает деление пополам. Неточный чертёж может выглядеть убедительно, но не показывает точного равенства углов; доказательство нужно строить на свойствах полученных фигур. Проверьте равенство трёх пар сторон треугольников и только затем заключайте, что соответствующие углы равны.

Связь с другими темами

Для построения нужны знания о вершине и сторонах угла, а также навык пользоваться циркулем и линейкой. При доказательстве применяют признаки равенства треугольников и свойства равных отрезков: именно они объясняют, почему углы по обе стороны луча равны. Построенная биссектриса пригодится в задачах на углы и в дальнейших геометрических построениях, где требуется разделить угол пополам.

Что запомнить

• Биссектриса делит угол на два равных угла.
• Построение начинают с дуги, центр которой находится в вершине угла.
• Дуги из точек на сторонах угла проводят одним и тем же радиусом.
• Точку пересечения дуг выбирают внутри угла.
• Биссектрису проводят из вершины угла через внутреннее пересечение дуг.
• Правильность построения обосновывают равенством треугольников.