§ 61. Построение параллельных прямых

Определения и обозначения

Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если прямые обозначены a и b, запись a ∥ b читают «a параллельна b». Определение помогает отличить параллельные прямые от просто похожих на чертеже: важны и общая плоскость, и отсутствие пересечения.

Построить через точку M, не лежащую на прямой a, прямую, параллельную a, — значит провести через M прямую b так, чтобы a ∥ b. Точка M называется заданной, а прямая a — данной. Такая постановка нужна, когда требуется точно начертить нужное направление, а не просто нарисовать линию на глаз.

Если две прямые пересечены третьей прямой, её называют секущей. Соответственные углы при этом занимают одинаковое положение у двух точек пересечения: например, оба расположены сверху от секущей и справа от пересекаемых прямых. Если соответственные углы равны, то пересечённые секущей прямые параллельны; это признак параллельности. Он позволяет обосновать построение с помощью углов.

Как это устроено

Сначала приложи угольник одной стороной к прямой a так, чтобы он плотно прилегал, без просвета и перекоса. К другой стороне угольника прижми линейку: она станет направляющей. Если линейка скользит или лежит неплотно, угольник может повернуться, поэтому придерживай инструменты рукой.

Не отпуская линейку, передвигай угольник вдоль неё, пока нужная сторона не пройдёт через точку M. При таком движении сторона угольника не поворачивается: она скользит вдоль неподвижной линейки, сохраняя своё направление. Именно это сохраняет наклон, который был задан при первоначальном приложении угольника к a.

Проведи через M прямую по той стороне угольника, которая при первоначальной установке была параллельна a. Чтобы объяснить, почему получились параллельные прямые, проведи секущую через точки, где она пересекает a и новую прямую. Угол между a и секущей равен соответственному углу между новой прямой и секущей: сторона угольника сохранила направление. По признаку равенства соответственных углов прямая через M параллельна a.

Проверить результат можно, проведя секущую и сравнив соответственные углы на чертеже. Их равенство подтверждает параллельность, но измерение транспортиром может дать небольшую погрешность, поэтому важен и способ построения. Есть также проверка через перпендикуляры: проведи через M перпендикуляр к a, а затем через M перпендикуляр к первой построенной прямой. Обе прямые, перпендикулярные a, параллельны друг другу.

Через точку вне прямой нельзя провести две разные прямые, параллельные этой прямой: параллельная прямая через такую точку единственна. Поэтому два точных способа построения должны привести к одной и той же линии. Если результаты заметно расходятся, проверь положение инструментов и точность проведения.

Построение параллельной прямой через заданную точку

Таблица показывает порядок действий и причину каждого шага. Сверяйся с колонкой «Обоснование», чтобы понимать, какую роль выполняют инструменты, а не только повторять движения. После построения проверь, что линия проходит через M и сохраняет направление исходной прямой.

Разбор задач

Задача 1. Дана прямая a и точка M вне неё. Постройте через M прямую, параллельную a, с помощью линейки и угольника. Здесь важно не просто приложить угольник к a, но и перенести его направление к точке M, не поворачивая. Для этого линейка должна оставаться неподвижной.

1. Приложите одну сторону угольника к прямой a.
2. Прижмите линейку к другой стороне угольника и придерживайте её.
3. Сдвиньте угольник по линейке так, чтобы нужная сторона прошла через M, затем проведите по ней прямую b.

Ответ: прямая b, проведённая через M указанным способом, параллельна a. Линейка сохранила направление стороны угольника.

Задача 2. Через точку M проведите прямую, параллельную a, и объясните, почему она параллельна a. Одного вида чертежа для доказательства недостаточно, поэтому проследим за углами. Нужно показать, что образовалась пара соответственных углов, и что эти углы равны.

1. Постройте через M прямую b, удерживая линейку и передвигая угольник, как в первой задаче.
2. Проведите секущую, пересекающую a и b, и отметьте соответственные углы.
3. Так как сторона угольника не изменила направления, соответствующие углы с секущей равны.
4. Примените признак параллельности: если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Ответ: a ∥ b по равенству соответственных углов. Это объяснение подтверждает построение геометрическим свойством, а не внешним сходством линий.

Задача 3. Через точку M постройте прямую, параллельную a, используя перпендикуляры, и сравните результат с построением угольником. Перпендикуляр — это прямая, пересекающая другую под прямым углом. Способ основан на том, что два перпендикуляра к одной прямой параллельны.

1. Постройте через M перпендикуляр c к прямой a.
2. Через M постройте перпендикуляр b к прямой c.
3. Сравните b с линией, построенной при помощи линейки и угольника.

Ответ: b ∥ a, поскольку обе прямые перпендикулярны c. При точном построении линия b совпадает с результатом первого способа: через M проходит только одна прямая, параллельная a.

Типичные ошибки

Если при сдвиге угольника не придерживать линейку, она тоже может сдвинуться или угольник повернётся. Тогда новая линия получит другой наклон, хотя на глаз отличие иногда незаметно. Удерживай линейку и проверь построение по соответственным углам.

Перекос возникает, когда угольник приложен к прямой не той стороной или между ним и прямой остаётся зазор. Из-за этого исходное направление задаётся неверно и дальнейшее перемещение не исправляет ошибку. Перед построением проверь плотное прилегание стороны угольника и не меняй его положение относительно линейки.

Иногда линии объявляют параллельными только потому, что они выглядят параллельными на рисунке. Но короткие прямые могут не пересекаться на вид, хотя при продолжении пересекутся, поэтому внешний вид не является доказательством. Проведи секущую и обоснуй равенство соответственных углов либо используй перпендикуляры.

Соответственные углы занимают одинаковое положение у двух пересечений, а односторонние лежат по одну сторону от секущей внутри двух прямых. Эти виды углов нельзя путать: для параллельности соответственные углы должны быть равны, тогда как односторонние внутренние углы в этом случае дают в сумме 180°. Определи положение углов до применения признака и проверь, какое именно условие выполняется.

Связь с другими темами

Для построения нужны навыки работы с линейкой и угольником, проведения прямых и распознавания углов при пересечении секущей. Равенство соответственных углов связывает чертёж с признаками параллельности: оно превращает аккуратное построение в доказательство. Параллельные прямые встречаются при черчении геометрических фигур и решении задач на углы, в том числе при изучении параллелограммов. Поэтому важно уметь и построить линию, и объяснить, почему она параллельна.

Что запомнить

• Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Через точку вне прямой можно провести единственную параллельную ей прямую.
• При построении линейку удерживают неподвижно, а угольник перемещают вдоль неё.
• Построенные прямые параллельны, если соответственные углы равны.
• Две прямые, перпендикулярные одной прямой, параллельны.