§ 62. Проведение касательной к окружности через данную точку

Определения и обозначения

Касательная к окружности — прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку. Секущая, в отличие от касательной, пересекает окружность в двух точках. Это различие помогает понять, какую именно прямую нужно построить: касательная только касается окружности, а не проходит сквозь неё.

Точка касания — общая точка касательной и окружности; обозначим её буквой T. В этой точке касательная как бы касается окружности снаружи, не пересекая её в соседних точках. Буква T позволяет точно указать место, где нужно проверить перпендикулярность радиуса и касательной.

Отрезок касательной — часть касательной от внешней точки до точки касания. Например, если P находится вне окружности, а T — точка касания, то отрезок касательной обозначают PT. Радиус OT вместе с PT образует прямой угол, то есть треугольник OPT прямоугольный. Это свойство используют и для построения, и для доказательства равенства отрезков касательных.

Как это устроено

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Чтобы понять причину, вспомним: кратчайшее расстояние от точки до прямой измеряют по перпендикуляру. Если радиус к точке касания не был бы перпендикулярен прямой, расстояние от центра до неё оказалось бы меньше радиуса. Тогда прямая проходила бы внутри круга и пересекала окружность в двух точках, а значит, была бы секущей, а не касательной.

Пусть A лежит на окружности с центром O, и требуется провести касательную в A. Сначала соединяем A и O: получаем радиус OA. Затем через A строим прямую, перпендикулярную OA. По свойству касательной радиус в точке касания должен образовывать с ней прямой угол, поэтому эта прямая и есть искомая касательная. Здесь достаточно одной касательной, потому что точка касания уже задана.

Теперь пусть P — внешняя точка, из которой нужно провести касательные. Соединяем P с центром O и строим вспомогательную окружность с диаметром OP. Обозначим её пересечения с исходной окружностью через T₁ и T₂. Угол OT₁P опирается на диаметр OP, поэтому он прямой; по той же причине прямой угол получается и при вершине T₂. Следовательно, радиусы OT₁ и OT₂ перпендикулярны соответственно PT₁ и PT₂.

Чтобы завершить построение, проводим прямые PT₁ и PT₂. Каждая из них проходит через внешнюю точку P и найденную точку касания, а перпендикулярность радиуса к этой прямой подтверждает, что она касается окружности. Точки T₁ и T₂ располагаются по разные стороны от прямой OP, поэтому построенные касательные симметричны относительно OP. Из внешней точки получаются две касательные, а не одна.

Оба построения можно проверить обратным рассуждением. В каждом случае радиус к найденной точке перпендикулярен проведённой прямой: для точки на окружности это условие построено сразу, а для внешней точки его обеспечивает прямой угол, опирающийся на диаметр. Прямая, перпендикулярная радиусу в точке окружности, является касательной. Значит, проверка подтверждает, что результат построения верен.

Проведение касательной через заданную точку

Сначала определите, где расположена заданная точка: на окружности или вне её. Затем выберите соответствующий способ построения. В последнем столбце указано, сколько касательных получится.

Разбор задач

Касательная в точке окружности

Дана окружность с центром O и точка A на ней. Нужно построить касательную именно в A, поэтому сначала определяем направление радиуса, проходящего через эту точку. Затем используем свойство касательной: она образует с радиусом прямой угол. Так можно не угадывать наклон прямой, а построить его точно.

1. Соединим центр O с точкой A и получим радиус OA. Точка A уже является предполагаемой точкой касания.
2. Через A проведём перпендикуляр к прямой OA. Для этого используем построение перпендикуляра к прямой.
3. Проверим результат: проведённая прямая образует с OA угол 90°. Значит, по свойству радиуса и касательной она касается окружности в A.

Ответ: прямая, проходящая через A перпендикулярно OA, — искомая касательная. Прямая через A, но с другим наклоном, не удовлетворяла бы условию перпендикулярности. Поэтому направление радиуса здесь определяет направление касательной.

Касательные из внешней точки

Даны окружность с центром O и точка P вне неё. Требуется провести из P обе касательные, причём точки касания заранее неизвестны. Для их нахождения используем окружность с диаметром OP: она превращает углы в точках пересечения в прямые. Это сразу даст нужную перпендикулярность радиусов и касательных.

1. Соединим P и O и найдём середину M отрезка OP. Середина нужна, потому что центр окружности, для которой OP — диаметр, находится именно в середине диаметра.
2. Проведём окружность с центром M и радиусом MO. Так как MO = MP, точки O и P лежат на этой окружности, а OP является её диаметром.
3. Обозначим точки пересечения этой окружности с исходной через T₁ и T₂. Углы OT₁P и OT₂P прямые, поскольку каждый опирается на диаметр OP.
4. Проведём PT₁ и PT₂. Радиусы OT₁ и OT₂ перпендикулярны этим прямым, поэтому обе прямые касаются исходной окружности.

Ответ: искомые касательные — PT₁ и PT₂. Их две, потому что вспомогательная окружность пересекает исходную в двух точках. Если P находится снаружи, а не на окружности, обе найденные точки касания существуют.

Равенство отрезков касательных

Из точки P вне окружности проведены касательные, касающиеся её в точках T₁ и T₂. Нужно доказать, что PT₁ = PT₂. Радиусы OT₁ и OT₂ перпендикулярны касательным, поэтому треугольники OPT₁ и OPT₂ прямоугольные. Они имеют общую гипотенузу OP, а радиусы OT₁ и OT₂ равны как радиусы одной окружности.

1. Соединим O с T₁ и T₂. Получим прямоугольные треугольники OPT₁ и OPT₂ с прямыми углами при T₁ и T₂.
2. Сравним их гипотенузы: OP — общая сторона обоих треугольников. Их катеты OT₁ и OT₂ равны, так как оба являются радиусами исходной окружности.
3. По гипотенузе и катету прямоугольные треугольники равны. Значит, равны и соответствующие стороны PT₁ и PT₂.

Ответ: PT₁ = PT₂. Равенство следует не из внешнего вида чертежа, а из равенства прямоугольных треугольников. Это свойство верно для касательных, проведённых из одной и той же внешней точки.

Типичные ошибки

• Некоторые проводят через внешнюю точку и центр прямую и принимают её за касательную. Такая прямая проходит сквозь окружность, поэтому встречает её в двух точках и является секущей. Проверьте число общих точек: у касательной оно должно быть равно одному.

• При построении касательной в точке окружности иногда проводят через неё прямую, параллельную радиусу. Параллельная прямая не образует с радиусом прямого угла, хотя нужное условие именно такое. Проверьте построение угольником: угол между радиусом и касательной должен составлять 90°.

• Если из внешней точки соединить её с произвольными точками окружности, полученные прямые не обязательно будут касательными. Такие точки могут не давать перпендикулярности радиусов к прямым. Перед завершением постройки проверьте, что радиус к каждой выбранной точке перпендикулярен соответствующей прямой.

• Для внешней точки важно построить вспомогательную окружность именно с диаметром OP. Если взять окружность с другим диаметром, угол OTP не обязательно будет прямым, и доказательство касания потеряет основание. Убедитесь, что центр вспомогательной окружности — середина OP, а её радиус равен половине OP.

Связь с другими темами

Для построения понадобятся умения проводить перпендикуляр к прямой и находить середину отрезка циркулем и линейкой. Обоснование касательных опирается на свойство прямого угла, вписанного в полуокружность: угол, опирающийся на диаметр, прямой. Также используется теорема о перпендикуляре от центра к касательной. Эти знания пригодятся при решении задач на касательные, радиусы и прямоугольные треугольники.

Что запомнить

• Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку.
• Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
• В точке окружности касательную строят как перпендикуляр к радиусу.
• Из внешней точки к окружности можно провести две касательные.
• Для построения касательных из внешней точки используют окружность с диаметром, соединяющим эту точку с центром.
• Отрезки касательных, проведённых из одной внешней точки, равны.